Легкую пружину длиной 5L и жёсткостью k = 50 Н/м разрезали на три части длиной L, 2L и 2L, а затем из полученных пружин составили конструкцию, показанную на рисунке: две равные пружины прикрепили к лёгкой дощечке симметрично относительно её середины, а к середине прикрепили короткую пружину. На сколько растянется каждая из пружин, если к нижней пружине в точке А подвесить груз массой m = 300 г? Ответы дайте в см, округлив до десятых. Ускорение свободного падения g = 10 Н/кг.

Решение:

Первоначальная пружина длиной \( 5L \) и жёсткостью \( k = 50 \) Н/м разрезана на три части: \( L \), \( 2L \), \( 2L \).

При разрезании пружины на части, её жёсткость изменяется обратно пропорционально изменению длины. Если пружина длиной \( L_0 \) и жёсткостью \( k_0 \) разрезана на части длиной \( L_1 \) и \( L_2 \), то жёсткости новых частей \( k_1 \) и \( k_2 \) будут:

• \( k_1 = k_0 \cdot \frac{L_0}{L_1} \)
• \( k_2 = k_0 \cdot \frac{L_0}{L_2} \)

В нашем случае:

• Жёсткость части длиной \( L \): \( k_L = 50 \frac{Н}{м} \cdot \frac{5L}{L} = 250 \frac{Н}{м} \)
• Жёсткость частей длиной \( 2L \): \( k_{2L} = 50 \frac{Н}{м} \cdot \frac{5L}{2L} = 125 \frac{Н}{м} \)

Конструкция состоит из двух пружин длиной \( 2L \) (верхние) и одной пружины длиной \( L \) (нижняя).

1. Насколько растянутся пружины с первоначальной длиной 2L?

Две пружины длиной \( 2L \) соединены параллельно, поэтому их общая жёсткость равна сумме их жёсткостей: \( k_{общ, верх} = k_{2L} + k_{2L} = 125 \frac{Н}{м} + 125 \frac{Н}{м} = 250 \frac{Н}{м} \).

Груз массой \( m = 300 \) г = \( 0.3 \) кг. Сила тяжести, действующая на пружину, равна \( F = mg \).

Ускорение свободного падения \( g = 10 \frac{Н}{кг} \).

Сила тяжести \( F = 0.3 \text{ кг} \cdot 10 \frac{Н}{кг} = 3 \) Н.

Эта сила распределяется поровну между двумя верхними пружинами, так как они соединены параллельно и симметрично.

Сила, действующая на каждую верхнюю пружину, равна \( F_{верх} = \frac{F}{2} = \frac{3 \text{ Н}}{2} = 1.5 \) Н.

Растяжение каждой верхней пружины (первоначальная длина \( 2L \)) находим по закону Гука: \( \Delta l = \frac{F_{верх}}{k_{2L}} \).

\( \Delta l_{2L} = \frac{1.5 \text{ Н}}{125 \frac{Н}{м}} = 0.012 \text{ м} \).

Переводим в сантиметры: \( 0.012 \text{ м} \cdot 100 \frac{см}{м} = 1.2 \) см.

Ответ: 1.2 см.

2. Насколько растянется пружина с первоначальной длиной L?

Нижняя пружина имеет первоначальную длину \( L \) и жёсткость \( k_L = 250 \frac{Н}{м} \).

К этой пружине подвешен груз силой \( F = 3 \) Н.

Растяжение нижней пружины: \( \Delta l = \frac{F}{k_L} \).

\( \Delta l_L = \frac{3 \text{ Н}}{250 \frac{Н}{м}} = 0.012 \text{ м} \).

Переводим в сантиметры: \( 0.012 \text{ м} \cdot 100 \frac{см}{м} = 1.2 \) см.

Ответ: 1.2 см.

3. Насколько опустится точка А нижней пружины?

Точка А является концом нижней пружины. Она опустится на величину растяжения нижней пружины.

\( \Delta l_A = \Delta l_L = 1.2 \) см.

Ответ: 1.2 см.