ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 5 Вычисление площади полной поверхности и объёма Конуса.

Лабораторная работа № 5

Тема: Вычисление площади полной поверхности и объёма конуса.

Оборудование: модель прямого кругового конуса, учебник, рабочая тетрадь, справочник, задачник, линейка, нитка, калькулятор.

Измерения: (ниткой измерить длину окружности основания, линейкой измерить образующую).

• \( C = 32 \) см.


• \( L = 15 \) см.

Формулы необходимые для вычисления:

1. \( S_{осн} = \pi R^2 \) – площадь основания


2. \( S_{бок.пов.} = \pi RL \) – площадь боковой поверхности


3. \( S_{пол.пов.} = \pi R^2 + \pi RL \) – площадь полной поверхности


4. \( V_к. = \frac{1}{3}\pi R^2 H \) – объём конуса


5. \( C^2 = a^2 + b^2 \) – теорема Пифагора


6. \( C = 2\pi R \) – длина окружности

Вычисление:

1. Используя формулу длины окружности, вычислим радиус основания:



\( R = \frac{C}{2\pi} = \frac{32}{2\pi} = \frac{16}{\pi} \) см.



2. Проведём в основании диаметр и из вершины опустим перпендикуляр. Введём обозначения: диаметр \( AB \), высота \( CO \).


3. Вычислим высоту конуса по формуле \( H = \sqrt{(AC^2) – (AO)^2} \). Так как \( AO \) — это радиус \( R \) и \( AC \) — образующая \( L \), то \( H = \sqrt{L^2 - R^2} \).



\( H = \sqrt{15^2 - (\frac{16}{\pi})^2} = \sqrt{225 - \frac{256}{\pi^2}} \) см.



4. Полученные данные подставим в формулы:



Площадь основания:




\( S_{осн} = \pi R^2 = \pi (\frac{16}{\pi})^2 = \pi \frac{256}{\pi^2} = \frac{256}{\pi} \) см².




Площадь боковой поверхности:




\( S_{бок.пов.} = \pi RL = \pi \cdot \frac{16}{\pi} \cdot 15 = 16 \cdot 15 = 240 \) см².




Площадь полной поверхности:




\( S_{пол.пов.} = S_{осн} + S_{бок.пов.} = \frac{256}{\pi} + 240 \) см².




Объём конуса:




\( V_к. = \frac{1}{3}\pi R^2 H = \frac{1}{3} \pi (\frac{16}{\pi})^2 \sqrt{225 - \frac{256}{\pi^2}} = \frac{1}{3} \frac{256}{\pi} \sqrt{225 - \frac{256}{\pi^2}} \) см³.



5. Запишем вывод: \( S_{п.п.} \approx 320 \) см²; \( V_к. \approx 116 \) см³. (Для получения этих значений требуется численное вычисление \( \pi \) и квадратного корня.)

Ответить на вопросы:

1. Дать определение данной фигуры: Конус — это тело, полученное вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов.


2. Записать все свойства:
   • Конус имеет одно основание — круг.
   • Боковая поверхность конуса образуется движением образующей.
   • Все образующие конуса равны.
   • Высота конуса — перпендикуляр, опущенный из вершины на основание.
   • Если при вращении использовался равнобедренный треугольник, то конус является прямым.


3. Привести примеры использования данной модели в своей профессии, технике, быту, на производстве, на предметах окружающей обстановки:
   • В быту: абажуры, воронки, колпаки для вечеринок.
   • В технике: горные породы при добыче, бункера для сыпучих материалов, некоторые детали машин.
   • В архитектуре: конические крыши башен, купола.

Составить и решить задачу по данной модели, связанную с профессией.

Задача (Пример для инженера-строителя):

Необходимо рассчитать объём бетона для изготовления конического фундамента диаметром основания 10 метров и высотой 4 метра. Формула объёма конуса \( V_к. = \frac{1}{3}\pi R^2 H \).

Решение:

• Радиус основания \( R = \frac{D}{2} = \frac{10}{2} = 5 \) м.


• Высота \( H = 4 \) м.


• Объём \( V_к. = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot (5)^2 \cdot 4 = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 25 \cdot 4 = \frac{100\pi}{3} \) м³ (приблизительно \( 104.7 \) м³).

Ответ: Объём бетона для конического фундамента составит \( \frac{100\pi}{3} \) м³ (примерно \( 104.7 \) м³).