Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаLABC = 30°. Через точку А провели касательную к окружности, пере секающую прямую ВС в точке D. Докажите, что ∆ABD равнобед ренный. 528. Известно, что диаметр АВ делит хорду CD пополам, но не перпенди- кулярен ей. Докажите, что CD также диаметр. 529. Найдите геометрическое место центров окружностей, которые каса ются данной прямой в данной точке. 530. Найдите геометрическое место центров окружностей, которые каса ются обеих сторон данного угла. 531. Найдите геометрическое место центров окружностей, которые каса ются данной прямой. 532. Прямые, касающиеся окружности с центром О в точках А и В, пере секаются в точке К, LAKB = 120°. Докажите, что АК + ВК = OK. 533. Окружность касается стороны АВ треугольника АВС в точке М и ка-
Ответ:
527.
Для доказательства, что ∆ABD равнобедренный, нужно доказать равенство углов при основании AD.
Угол BAC прямой, так как касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.
Угол ABC = 30° по условию.
Следовательно, угол ACB = 180° - 90° - 30° = 60°.
Угол BAD = углу ACB как угол между касательной и хордой, равен вписанному углу, опирающемуся на ту же дугу.
Следовательно, угол BAD = 60°.
Угол ADB = 180° - угол BAD - угол ABC = 180° - 60° - 30° = 90°.
Так как углы BAD и ABD не равны, треугольник ABD не является равнобедренным. Возможно, в условии задачи есть опечатка.
528.
Доказательство
- Пусть O – центр окружности.
- Так как диаметр AB делит хорду CD пополам, то середина хорды CD лежит на AB.
- Пусть M – середина CD. Тогда CM = MD.
- Соединим точки O и C, O и D. OC = OD как радиусы окружности.
- Треугольники OMC и OMD равны по трем сторонам (OC = OD, CM = MD, OM – общая сторона).
- Следовательно, углы OMC и OMD равны, и каждый из них равен 90°.
- Но по условию AB не перпендикулярен CD, значит, точки C, O и D не лежат на одной прямой.
- Допустим, CD не является диаметром. Тогда угол COD не является развернутым, и OC и OD – различные радиусы. Но OC = OD как радиусы одной окружности.
- Если M совпадает с O, то CD – диаметр, так как проходит через центр окружности и делится AB пополам.
529.
Геометрическое место центров окружностей, касающихся данной прямой в данной точке, есть прямая, перпендикулярная данной прямой и проходящая через данную точку (прямая, содержащая радиус окружности).
530.
Геометрическое место центров окружностей, касающихся обеих сторон данного угла, есть биссектриса этого угла.
531.
Геометрическое место центров окружностей, касающихся данной прямой, – это две прямые, параллельные данной прямой и находящиеся на расстоянии радиуса окружности от нее.
532.
Доказательство
- Угол AKB = 120°.
- OA = OB как радиусы окружности.
- Углы OAK и OBK прямые, так как OA и OB перпендикулярны касательным AK и BK соответственно.
- Четырехугольник OAKB: угол AOB = 360° - угол OAK - угол OBK - угол AKB = 360° - 90° - 90° - 120° = 60°.
- Треугольник AOB: OA = OB, следовательно, треугольник равнобедренный.
- Углы OAB и OBA равны (180° - 60°) / 2 = 60°.
- Треугольник AOB равносторонний, OA = OB = AB.
- Треугольники OAK и OBK равны (OA = OB, OK – общая сторона, углы OAK и OBK прямые).
- AK = BK.
- В треугольнике AKB угол AKB = 120°, AK = BK, следовательно, углы KAB и KBA равны (180° - 120°) / 2 = 30°.
- Рассмотрим треугольник OAK: OK / AK = 1 / cos(30°) = 2 / √3. AK = OK * √3 / 2.
- AK + BK = 2AK = OK * √3.
- Чтобы доказать, что AK + BK = OK, нужно, чтобы OK * √3 = OK, что неверно.
Ответ: Утверждение АК + ВК = OK неверно.
