«Квадратные уравнения. Квадратный трёхчлен» Вариант 1 1. Разложите на множители квадратный трёхчлен: 1) x² - 5x-24; 2) 3x² - 10x - 8. 2. Решите уравнение: 1) x²-3x-4=0; 2) x² - x = 14-6x, 3) 3. Сократите дробь 4. Первый рабочий за час делает на 11 деталей больше, чем второй, и выполняет заказ, состоящий из 66 деталей, на 3 часа быстрее, чем второй рабочий, выполняющий такой же заказ. Сколько деталей в час делает второй рабочий? 5. Решите уравнение

Привет! Давай разберем эти задания по математике.

Задание 1: Разложение квадратных трёхчленов на множители

1) x² - 5x - 24

Сначала найдем корни квадратного уравнения x² - 5x - 24 = 0. Для этого воспользуемся дискриминантом:

\[D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 25 + 96 = 121\]

Теперь найдем корни:

\[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + \sqrt{121}}{2} = \frac{5 + 11}{2} = 8\] \[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - \sqrt{121}}{2} = \frac{5 - 11}{2} = -3\]

Итак, корни уравнения x_1 = 8 и x_2 = -3. Теперь мы можем разложить квадратный трёхчлен на множители:

\[x^2 - 5x - 24 = (x - 8)(x + 3)\]

2) 3x² - 10x - 8

Снова найдем корни квадратного уравнения 3x² - 10x - 8 = 0. Вычислим дискриминант:

\[D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-8) = 100 + 96 = 196\]

Теперь найдем корни:

\[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 + \sqrt{196}}{6} = \frac{10 + 14}{6} = 4\] \[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 - \sqrt{196}}{6} = \frac{10 - 14}{6} = -\frac{2}{3}\]

Итак, корни уравнения x_1 = 4 и x_2 = -2/3. Теперь разложим квадратный трёхчлен на множители:

\[3x^2 - 10x - 8 = 3(x - 4)(x + \frac{2}{3}) = (x - 4)(3x + 2)\]

Задание 2: Решение уравнений

1) x² - 3x - 4 = 0

Используем дискриминант для решения этого квадратного уравнения:

\[D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25\]

Теперь найдем корни:

\[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + \sqrt{25}}{2} = \frac{3 + 5}{2} = 4\] \[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - \sqrt{25}}{2} = \frac{3 - 5}{2} = -1\]

Итак, корни уравнения x_1 = 4 и x_2 = -1.

2) x² - x = 14 - 6x

Преобразуем уравнение к стандартному виду:

\[x^2 - x + 6x - 14 = 0 \Rightarrow x^2 + 5x - 14 = 0\]

Теперь найдем корни через дискриминант:

\[D = b^2 - 4ac = (5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-14) = 25 + 56 = 81\]

Найдем корни:

\[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + \sqrt{81}}{2} = \frac{-5 + 9}{2} = 2\] \[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - \sqrt{81}}{2} = \frac{-5 - 9}{2} = -7\]

Итак, корни уравнения x_1 = 2 и x_2 = -7.

Задание 4: Задача про рабочих

Пусть x - количество деталей, которое второй рабочий делает за час. Тогда первый рабочий делает x + 11 деталей за час.

Время, которое второй рабочий тратит на выполнение заказа: T₂ = 66 / x

Время, которое первый рабочий тратит на выполнение заказа: T₁ = 66 / (x + 11)

Из условия задачи T₁ = T₂ - 3

Получаем уравнение:

\[\frac{66}{x + 11} = \frac{66}{x} - 3\] \[66x = 66(x + 11) - 3x(x + 11)\] \[66x = 66x + 726 - 3x^2 - 33x\] \[3x^2 + 33x - 726 = 0\] \[x^2 + 11x - 242 = 0\]

Найдем корни уравнения через дискриминант:

\[D = b^2 - 4ac = (11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-242) = 121 + 968 = 1089\]

Найдем корни:

\[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-11 + \sqrt{1089}}{2} = \frac{-11 + 33}{2} = 11\] \[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-11 - \sqrt{1089}}{2} = \frac{-11 - 33}{2} = -22\]

Так как количество деталей не может быть отрицательным, выбираем x = 11.

Ответ: Второй рабочий делает 11 деталей в час.