Квадрат состоит из четырёх ячеек. В каждой строке изначально записана единица. За один ход можно сделать одно из двух действий: 1) выбрать верхнюю или нижнюю строку и любые числа x и y, каждое из которых не меньше 1 и не больше 2, а затем умножить левое число в выбранной строке на x, а правое — на y (числа x и y не обязаны быть различными); 2) выбрать верхнюю или нижнюю строку и заменить её оставшуюся строку. Какое минимальное число ходов потребуется, чтобы получить набор чисел 32, 20, 15, 64, записанный в строках так, как на рисунке?

Каждый ход первого типа умножает произведение чисел в выбранной строке не более чем на 4, так как \(x,y\leq 2\). Второй тип хода просто копирует одну строку в другую.

В целевой таблице произведения строк равны:

\(32\cdot20=640=2^7\cdot5\),

\(15\cdot64=960=2^6\cdot3\cdot5\).

Чтобы получить множитель \(5\) и множитель \(3\), необходимо сначала использовать второй тип хода, поскольку первый тип может добавлять только множители 2 и не создаёт множителей 3 или 5. После копирования строки одну строку можно преобразовать множителями 2, но для получения чисел \(32\) и \(20\) нужны множители \(32\) и \(20\) относительно единиц, то есть соответственно \(2^5\) и \(2^2\). Это требует не менее пяти ходов первого типа для одной строки. Для второй строки числа \(15\) и \(64\) также нельзя получить умножениями только на числа от 1 до 2 из единиц без предварительного появления множителей 3 и 5.

Оптимальная последовательность использует 6 ходов: сначала получить строку \((32,20)\) за 3 хода, затем скопировать её, после чего за 2 хода преобразовать скопированную строку в \((15,64)\) с учётом допустимых замен строк.

Ответ: 6 ходов.