Квадрат со стороной а = 22 см составлен из четырёх тонких стержней одинакового сечения, сделанных из разных материалов с плотностями р. 4р. 2р. 3р. С квадратом связана система координат. Найдите координаты центра масс системы. Ответ дайте в см, округлив до десятых.

Решение:

Пусть сторона квадрата \( a = 22 \) см. Плотности материалов стержней: \( \rho_1 = \rho \) (нижний стержень), \( \rho_2 = 4\rho \) (левый стержень), \( \rho_3 = 2\rho \) (верхний стержень), \( \rho_4 = 3\rho \) (правый стержень).

Для простоты примем \( \rho = 1 \) г/см³. Тогда плотности будут: \( \rho_1 = 1 \), \( \rho_2 = 4 \), \( \rho_3 = 2 \), \( \rho_4 = 3 \).

Длина каждого стержня равна \( a \). Так как сечение одинаковое, массу стержня можно считать пропорциональной его длине и плотности.

1. Координата X центра масс:

Центры масс каждого стержня:

• Нижний стержень (от \( x=0 \) до \( x=a \), \( y=0 \)): центр масс \( (a/2, 0) \). Масса \( m_1 \) пропорциональна \( a \cdot \rho = a \cdot 1 = a \).
• Левый стержень (от \( y=0 \) до \( y=a \), \( x=0 \)): центр масс \( (0, a/2) \). Масса \( m_2 \) пропорциональна \( a \cdot 4\rho = a \cdot 4 = 4a \).
• Верхний стержень (от \( x=0 \) до \( x=a \), \( y=a \)): центр масс \( (a/2, a) \). Масса \( m_3 \) пропорциональна \( a \cdot 2\rho = a \cdot 2 = 2a \).
• Правый стержень (от \( y=0 \) до \( y=a \), \( x=a \)): центр масс \( (a, a/2) \). Масса \( m_4 \) пропорциональна \( a \cdot 3\rho = a \cdot 3 = 3a \).

Общая масса \( M \) пропорциональна \( a + 4a + 2a + 3a = 10a \).

Координата X центра масс \( X_{cm} \):

\[ X_{cm} = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2 + m_3 x_3 + m_4 x_4}{M} \]\[ X_{cm} = \frac{(a)(a/2) + (4a)(0) + (2a)(a/2) + (3a)(a)}{10a} \]\[ X_{cm} = \frac{a^2/2 + 0 + a^2 + 3a^2}{10a} = \frac{a^2/2 + 4a^2}{10a} = \frac{4.5 a^2}{10a} = 0.45a \]\[ X_{cm} = 0.45 \cdot 22 \text{ см} = 9.9 \text{ см} \]

Координата Х центра масс

9.9

2. Координата Y центра масс:

Координата Y центра масс \( Y_{cm} \):

\[ Y_{cm} = \frac{m_1 y_1 + m_2 y_2 + m_3 y_3 + m_4 y_4}{M} \]\[ Y_{cm} = \frac{(a)(0) + (4a)(a/2) + (2a)(a) + (3a)(a/2)}{10a} \]\[ Y_{cm} = \frac{0 + 2a^2 + 2a^2 + 1.5a^2}{10a} = \frac{5.5 a^2}{10a} = 0.55a \]\[ Y_{cm} = 0.55 \cdot 22 \text{ см} = 12.1 \text{ см} \]

Координата У центра масс

12.1

Ответ: Координаты центра масс системы составляют \( (9.9; 12.1) \) см.