КР- «Линейные уравнения с двумя переменными и их системы. Решение систем линейных уравнений» 1. Решите систему уравнений: { 4x --y = 3, {2x+2y = 1. 2. Банк продал предпринимателю г-ну Разину 16 облигаций по 2000 р. и 3000 р. Сколько облигаций каждого номинала купил г-н Разин, если за все облигации было заплачено 20000 р.? 3. Решите систему уравнений: {2(3x + 2y) + 9 = 4x + 21, {2x+10=3- (6x + 5y). 4. Дана прямая у = 2x + 2, проходит ли через точки А(3; 8) и В(-4; 1) данная прямая?. 5. Выясните, имеет ли решение система: {3x - 2y = 7, {6x-4y = 2.

1. Решение системы уравнений:

• Выразим y из первого уравнения: y = 4x - 3
• Подставим это выражение во второе уравнение: 2x + 2(4x - 3) = 1
• Решим полученное уравнение относительно x:

\[2x + 8x - 6 = 1\] \[10x = 7\] \[x = \frac{7}{10}\]

• Теперь найдем y:

\[y = 4 \cdot \frac{7}{10} - 3 = \frac{28}{10} - 3 = \frac{28 - 30}{10} = -\frac{2}{10} = -\frac{1}{5}\]

Ответ: x = 7/10, y = -1/5

2. Решение задачи про облигации:

• Пусть x — количество облигаций по 2000 р., y — количество облигаций по 3000 р.
• Составим систему уравнений:

\[\begin{cases} x + y = 16 \\ 2000x + 3000y = 44000 \end{cases}\]

• Разделим второе уравнение на 1000:

\[\begin{cases} x + y = 16 \\ 2x + 3y = 44 \end{cases}\]

• Выразим x из первого уравнения: x = 16 - y
• Подставим это выражение во второе уравнение: 2(16 - y) + 3y = 44
• Решим полученное уравнение относительно y:

\[32 - 2y + 3y = 44\] \[y = 44 - 32 = 12\]

• Теперь найдем x:

\[x = 16 - 12 = 4\]

Ответ: 4 облигации по 2000 р. и 12 облигаций по 3000 р.

3. Решение системы уравнений:

• Раскроем скобки и упростим первое уравнение: 6x + 4y + 9 = 4x + 21
• Перенесем все в одну сторону: 2x + 4y = 12
• Упростим второе уравнение: 2x + 10 = 3 - 6x - 5y
• Перенесем все в одну сторону: 8x + 5y = -7
• Получим систему уравнений:

\[\begin{cases} 2x + 4y = 12 \\ 8x + 5y = -7 \end{cases}\]

• Выразим x из первого уравнения: x = 6 - 2y
• Подставим это выражение во второе уравнение: 8(6 - 2y) + 5y = -7
• Решим полученное уравнение относительно y:

\[48 - 16y + 5y = -7\] \[-11y = -55\] \[y = 5\]

• Теперь найдем x:

\[x = 6 - 2 \cdot 5 = 6 - 10 = -4\]

Ответ: x = -4, y = 5

4. Проверка принадлежности точек прямой:

• Для точки A(3; 8): Подставим координаты в уравнение y = 2x + 2

\[8 = 2 \cdot 3 + 2 = 6 + 2 = 8\]

• Равенство выполняется, значит, точка A лежит на прямой.
• Для точки B(-4; 1): Подставим координаты в уравнение y = 2x + 2

\[1 = 2 \cdot (-4) + 2 = -8 + 2 = -6\]

• Равенство не выполняется, значит, точка B не лежит на прямой.

Ответ: Точка A лежит на прямой, точка B не лежит на прямой.

5. Выяснение наличия решения системы:

• Система уравнений:

\[\begin{cases} 3x - 2y = 7 \\ 6x - 4y = 2 \end{cases}\]

• Умножим первое уравнение на 2: 6x - 4y = 14
• Теперь сравним полученное уравнение со вторым уравнением:

\[\begin{cases} 6x - 4y = 14 \\ 6x - 4y = 2 \end{cases}\]

• Левые части уравнений одинаковы, а правые — разные, следовательно, система не имеет решений.

Ответ: Система не имеет решений.