КР-7 «Система линейных уравнений с двумя переменными» Вариант 1 1. Решите методом подстановки систему уравнений \(\begin{cases} x - 3y = 8 \\ 2x - y = 6 \end{cases}\) 2. Решите методом сложения систему уравнений \(\begin{cases} 4x - 5y = -83 \\ 2x + 5y = 29 \end{cases}\) 3. Решите графически систему уравнений \(\begin{cases} x - y = 5 \\ x + 2y = -1 \end{cases}\) 4. Из двух сёл, расстояние между которыми равно 20 км, одновременно вышли навстречу друг другу два пешехода и встретились через 2 ч после начала движения. Найдите скорость каждого пешехода, если известно, что первый пешеход проходит за 4 ч на 12 км больше, чем второй за 3 ч. 5. Решите систему уравнений: \(\begin{cases} 7x + 5y = 19 \\ 4x - 3y = 5 \end{cases}\)

Вариант 1

1. Метод подстановки

Из второго уравнения выразим \( y \): \( y = 2x - 6 \).

Подставим в первое уравнение:

\( x - 3(2x - 6) = 8 \)

\( x - 6x + 18 = 8 \)

\( -5x = -10 \)

\( x = 2 \)

Теперь найдём \( y \):

\( y = 2(2) - 6 = 4 - 6 = -2 \)

Ответ: \( x = 2, y = -2 \).

2. Метод сложения

Сложим два уравнения системы, так как коэффициенты при \( y \) противоположны:

\(\begin{cases} 4x - 5y = -83 \\ 2x + 5y = 29 \end{cases}\)

\( (4x + 2x) + (-5y + 5y) = -83 + 29 \)

\( 6x = -54 \)

\( x = -9 \)

Подставим \( x = -9 \) во второе уравнение:

\( 2(-9) + 5y = 29 \)

\( -18 + 5y = 29 \)

\( 5y = 47 \)

\( y = \frac{47}{5} = 9.4 \)

Ответ: \( x = -9, y = 9.4 \).

3. Графический метод

Построим графики уравнений \( y = x - 5 \) и \( y = \frac{-x - 1}{2} \).

График 1: \( y = x - 5 \)

• При \( x = 0 \), \( y = -5 \). Точка (0, -5).
• При \( y = 0 \), \( x = 5 \). Точка (5, 0).

График 2: \( y = -0.5x - 0.5 \)

• При \( x = 0 \), \( y = -0.5 \). Точка (0, -0.5).
• При \( y = 0 \), \( x = -1 \). Точка (-1, 0).

Пересечение графиков происходит в точке, где \( x \) приблизительно равен 3.7 и \( y \) приблизительно равен -1.3. Точное решение: \( x = 3 \frac{2}{3}, y = -1 \frac{1}{3} \).

Ответ: \( x = 3 \frac{2}{3}, y = -1 \frac{1}{3} \).

4. Задача на движение

Пусть \( v_1 \) — скорость первого пешехода, \( v_2 \) — скорость второго пешехода.

Известно, что расстояние между сёлами 20 км, и пешеходы встретились через 2 часа. Значит, сумма их скоростей равна:

\( v_1 + v_2 = \frac{20 \text{ км}}{2 \text{ ч}} = 10 \text{ км/ч} \)

Также известно, что первый пешеход за 4 часа проходит на 12 км больше, чем второй за 3 часа. Составим уравнение:

\( 4v_1 = 3v_2 + 12 \)

Теперь у нас есть система уравнений:

\(\begin{cases} v_1 + v_2 = 10 \\ 4v_1 = 3v_2 + 12 \end{cases}\)

Из первого уравнения выразим \( v_1 = 10 - v_2 \).

Подставим во второе уравнение:

\( 4(10 - v_2) = 3v_2 + 12 \)

\( 40 - 4v_2 = 3v_2 + 12 \)

\( 28 = 7v_2 \)

\( v_2 = 4 \text{ км/ч} \)

Теперь найдём \( v_1 \):

\( v_1 = 10 - v_2 = 10 - 4 = 6 \text{ км/ч} \)

Ответ: Скорость первого пешехода 6 км/ч, скорость второго пешехода 4 км/ч.

5. Решите систему уравнений

Умножим первое уравнение на 3, а второе на 5, чтобы коэффициенты при \( y \) стали противоположными:

\(\begin{cases} 3(7x + 5y) = 3(19) \\ 5(4x - 3y) = 5(5) \end{cases}\)

\(\begin{cases} 21x + 15y = 57 \\ 20x - 15y = 25 \end{cases}\)

Сложим полученные уравнения:

\( (21x + 20x) + (15y - 15y) = 57 + 25 \)

\( 41x = 82 \)

\( x = 2 \)

Подставим \( x = 2 \) в первое уравнение исходной системы:

\( 7(2) + 5y = 19 \)

\( 14 + 5y = 19 \)

\( 5y = 5 \)

\( y = 1 \)

Ответ: \( x = 2, y = 1 \).