Космический корабль движется между Землёй и Луной таким образом, что всё время находится в точке, в которой силы гравитационного притяжения к Земле и к Луне в точности уравновешивают друг друга. Найдите примерный радиус орбиты этого корабля в системе отсчёта, связанной с Землёй. Ответ дайте в тысячах километров, округлив до целого числа. Считайте, что орбита Луны в этой системе отсчёта близка к круговой с радиусом 380000 км. Масса Земли примерно в 81 раз больше массы Луны.

Question

Вопрос:

Космический корабль движется между Землёй и Луной таким образом, что всё время находится в точке, в которой силы гравитационного притяжения к Земле и к Луне в точности уравновешивают друг друга. Найдите примерный радиус орбиты этого корабля в системе отсчёта, связанной с Землёй. Ответ дайте в тысячах километров, округлив до целого числа. Считайте, что орбита Луны в этой системе отсчёта близка к круговой с радиусом 380000 км. Масса Земли примерно в 81 раз больше массы Луны.

Ответ:

ФИО:Телефон:Емаил:Полное описание сути нарушения прав (почему распространение данной информации запрещено Правообладателем):

Accepted Answer

Решение:

Задача описывает нахождение точки Лагранжа L1 в системе Земля-Луна, где силы гравитации уравновешиваются. Для решения воспользуемся законом всемирного тяготения.

Пусть \( M_З \) — масса Земли, \( M_Л \) — масса Луны, \( r \) — расстояние между Землёй и Луной. По условию, \( r = 380000 \) км, и \( M_З = 81 \cdot M_Л \).

Пусть \( x \) — расстояние от Земли до космического корабля. Тогда расстояние от Луны до корабля равно \( r - x \).

Сила притяжения к Земле: \( F_З = G \cdot \frac{M_З \cdot m}{x^2} \), где \( m \) — масса корабля, \( G \) — гравитационная постоянная.

Сила притяжения к Луне: \( F_Л = G \cdot \frac{M_Л \cdot m}{(r - x)^2} \).

В точке Лагранжа L1 силы уравновешиваются: \( F_З = F_Л \).

\( G \cdot \frac{M_З \cdot m}{x^2} = G \cdot \frac{M_Л \cdot m}{(r - x)^2} \).

Сократим \( G \cdot m \):

\( \frac{M_З}{x^2} = \frac{M_Л}{(r - x)^2} \).

Подставим \( M_З = 81 \cdot M_Л \):

\( \frac{81 \cdot M_Л}{x^2} = \frac{M_Л}{(r - x)^2} \).

Сократим \( M_Л \):

\( \frac{81}{x^2} = \frac{1}{(r - x)^2} \).

Извлечём квадратный корень из обеих частей:

\( \frac{9}{x} = \cdot \frac{1}{r - x} \).

Так как корабль находится между Землёй и Луной, \( x < r \) и \( r - x > 0 \). Берём положительный корень:

\( 9(r - x) = x \).

\( 9r - 9x = x \).

\( 9r = 10x \).

\( x = \cdot \frac{9}{10} r \).

Подставим значение \( r = 380000 \) км:

\( x = \cdot \frac{9}{10} \cdot 380000 \) км.

\( x = 9 \cdot 38000 \) км.

\( x = 342000 \) км.

Ответ нужно дать в тысячах километров, округлив до целого числа:

\( x = 342 \) тыс. км.

Ответ: 342 тыс. км.