50 Концы отрезка отстоят от плоскости α на расстояниях 1 см и 4 см. Найдите расстояние от середины отрезка до плоскости α (задача 142 учебника). Решение. Рассмотрим два случая: 1) концы отрезка находятся по одну сторону от плоскости α.; 2) концы отрезка находятся по разные стороны от плоскости α. 1) Пусть отрезок АВ расположен по одну сторону от плоскости α (см. рис. а), АА, 1α, АА₁ = 1 см, ВВ, 1 с., ВВ₁ = 4 см. Так как АА, 1α и ΒΒ, 1α, το ΑA, . и поэтому четырехугольник ААВВ, РР₁ Проведем в ней среднюю линию РР₁, тогда РР₁ || и так как АА, 1 с., то и РР₁ 1. Следовательно, длина отрезка РР, и есть искомое расстояние от середины отрезка АВ до плоскости с, РР, 1 2 см. 42

Решение:

Рассмотрим два случая:

1. концы отрезка находятся по одну сторону от плоскости α;
2. концы отрезка находятся по разные стороны от плоскости α.

1) Пусть отрезок АВ расположен по одну сторону от плоскости α (см. рис. а), АА₁ ⊥ α, АА₁ = 1 см, ВВ₁ ⊥ α, ВВ₁ = 4 см. Так как АА₁ ⊥ α и ВВ₁ ⊥ α, то АА₁ || ВВ₁. и поэтому четырехугольник АА₁В₁В - трапеция.

Проведем в ней среднюю линию РР₁, тогда РР₁ || АА₁ || ВВ₁ и РР₁ ⊥ α. Следовательно, длина отрезка РР₁ и есть искомое расстояние от середины отрезка АВ до плоскости α, РР₁ = $$\frac{1+4}{2} = 2,5$$ см.

2) Пусть отрезок АВ расположен по разные стороны от плоскости α (см. рис. б), АА₁ ⊥ α, АА₁ = 1 см, ВВ₁ ⊥ α, ВВ₁ = 4 см. Так как АА₁ ⊥ α и ВВ₁ ⊥ α, то АА₁ || ВВ₁.

Рассмотрим прямоугольные треугольники ΔАСА₁ и ΔВСВ₁. Они подобны. АС:СВ = АА₁:ВВ₁ = 1:4. Т.к. АС+СВ = АВ, то АС = $$\frac{1}{5}$$АВ.

Тогда СD - средняя линия ΔАВР, СD =$$\frac{ВР}{2}$$. Т.к. ВР = ВВ₁ + АА₁ = 5 см, то СD = 2,5 см.

Ответ: 2,5 см