81. Концы отрезка АВ, равного 25 см, расположены в перпендикулярных плоскостях и удалены от линии их пересечения соответственно на 15 см и 7 см. Вычислите длины проекций отрезка АВ на данные плоскости.

Привет! Сейчас решим эту задачу вместе. Она может показаться сложной, но на самом деле здесь всё довольно просто, если понять, как это работает.

Пусть отрезок AB = 25 см. Расстояния от концов отрезка до линии пересечения плоскостей равны 15 см и 7 см. Нужно найти длины проекций отрезка AB на данные плоскости.

Решение:

1. Найдём проекцию отрезка на линию пересечения плоскостей.

   Пусть проекция отрезка AB на линию пересечения плоскостей будет отрезок CD. Тогда AC и BD - перпендикуляры, опущенные из концов отрезка AB на линию пересечения.

   CD является проекцией AB на линию пересечения, и мы можем найти CD, используя теорему Пифагора в трехмерном пространстве.

   Проекция AB на линию пересечения плоскостей (CD) может быть найдена, если рассмотреть прямоугольный треугольник, где AB - гипотенуза, а AC и BD - катеты, представляющие собой расстояния от концов отрезка до линии пересечения.

   Пусть CD = x. Тогда:

   \[ AB^2 = (AC - BD)^2 + CD^2 \]

   \[ 25^2 = (15 - 7)^2 + x^2 \]

   \[ 625 = 64 + x^2 \]

   \[ x^2 = 625 - 64 \]

   \[ x^2 = 561 \]

   \[ x = \sqrt{561} \]

   \[ x \approx 23.68 \]

   Таким образом, проекция отрезка AB на линию пересечения плоскостей приблизительно равна 23.68 см.

2. Найдём проекции на плоскости.

   Теперь найдём проекции отрезка AB на каждую из плоскостей. Пусть проекция на первую плоскость будет A'B', а на вторую - A''B''.

   Для первой плоскости:

   \[ A'B'^2 = CD^2 + BD^2 \]

   \[ A'B'^2 = 561 + 7^2 \]

   \[ A'B'^2 = 561 + 49 \]

   \[ A'B'^2 = 610 \]

   \[ A'B' = \sqrt{610} \]

   \[ A'B' \approx 24.69 \]

   Для второй плоскости:

   \[ A''B''^2 = CD^2 + AC^2 \]

   \[ A''B''^2 = 561 + 15^2 \]

   \[ A''B''^2 = 561 + 225 \]

   \[ A''B''^2 = 786 \]

   \[ A''B'' = \sqrt{786} \]

   \[ A''B'' \approx 28.04 \]

Ответ:

Проекция отрезка AB на первую плоскость ≈ 24.69 см, а на вторую плоскость ≈ 28.04 см.

Проверка за 10 секунд: Убедись, что проекции на плоскости меньше длины самого отрезка (25 см), а также проверь вычисления по теореме Пифагора.

Доп. профит: Читерский прием: Если забыл формулу, нарисуй схему и представь, как свет падает на отрезок с разных сторон. Это поможет понять, какие стороны использовать в теореме Пифагора.