Контрольные вопросы 1. Как изменится объем цилиндра, если его высоту и диаметр основания: 1) увеличить в 2 раза; 2) уменьшить на 50%; 3) увеличить в 4 раза? 2. Как изменится объем конуса, если: 1) его высота увеличится в 3 раза, а радиус окружности основания останется без изменения; 2) радиус основа- ния уменьшится в 3 раза, а высота останется без изменения; 3) высота и ра- диус основания увеличатся в 3 раза; 4) высота увеличится в 3 раза, а радиус основания уменьшится во столько же раз? 3. Как изменится объем шара, если его радиус: 1) увеличить в 10 раз; 2) увеличить на 300 %; 3) уменьшить в 5 раз; 4) уменьшить на 50%? 4. Заполните пропуски: объемы двух шаров пропорциональны ... их радиусов, а площади их поверхности пропорциональны ... их радиусов.

Ответ: смотри решение

1.

• 1) Объем цилиндра увеличится в 4 раза. Логика такая: \(V = \pi r^2 h\). Если и высота, и диаметр (а значит, и радиус) увеличиваются в 2 раза, то новый объем будет \(V' = \pi (2r)^2 (2h) = 8 \pi r^2 h = 8V\). Но в условии спрашивают, как изменится объем, если только высоту и диаметр увеличить в 2 раза. Тогда \(V' = \pi (2r)^2 (2h) = \pi 4r^2 2h = 8\pi r^2 h\), то есть, объем увеличится в 8 раз. Но в условии только высота и диаметр, значит, \(V' = \pi r^2 (2h) = 2\pi r^2 h\), то есть, объем увеличится в 2 раза.
• 2) Объем цилиндра уменьшится в 2 раза. Если высоту и диаметр уменьшить на 50%, то \(V' = \pi (0.5r)^2 (0.5h) = 0.125 \pi r^2 h = 0.125V\), то есть, объем уменьшится в 8 раз. Если только высоту и диаметр уменьшить на 50%, то \(V' = \pi r^2 (0.5h) = 0.5\pi r^2 h\), то есть, объем уменьшится в 2 раза.
• 3) Объем цилиндра увеличится в 16 раз. Если и высоту, и диаметр увеличить в 4 раза, то \(V' = \pi (4r)^2 (4h) = 64 \pi r^2 h = 64V\). Если только высоту увеличить в 4 раза, то \(V' = \pi r^2 (4h) = 4\pi r^2 h\), то есть, объем увеличится в 4 раза.

2.

• 1) Объем конуса увеличится в 3 раза. \(V = \frac{1}{3} \pi r^2 h\). Если высота увеличится в 3 раза, то \(V' = \frac{1}{3} \pi r^2 (3h) = \pi r^2 h = 3V\).
• 2) Объем конуса уменьшится в 3 раза. Если радиус уменьшится в 3 раза, то \(V' = \frac{1}{3} \pi (\frac{r}{3})^2 h = \frac{1}{27} \pi r^2 h = \frac{1}{9}V\).
• 3) Объем конуса увеличится в 27 раз. \(V' = \frac{1}{3} \pi (3r)^2 (3h) = 9 \pi r^2 h = 27V\).
• 4) Объем конуса останется без изменений. \(V' = \frac{1}{3} \pi (\frac{r}{3})^2 (3h) = \frac{1}{3} \pi \frac{r^2}{9} 3h = \frac{1}{3} \pi r^2 h = V\).

3.

• 1) Объем шара увеличится в 1000 раз. \(V = \frac{4}{3} \pi r^3\). Если радиус увеличить в 10 раз, то \(V' = \frac{4}{3} \pi (10r)^3 = \frac{4000}{3} \pi r^3 = 1000V\).
• 2) Объем шара увеличится в 64 раза. Если радиус увеличить на 300%, то есть в 4 раза, то \(V' = \frac{4}{3} \pi (4r)^3 = \frac{256}{3} \pi r^3 = 64V\).
• 3) Объем шара уменьшится в 125 раз. Если радиус уменьшить в 5 раз, то \(V' = \frac{4}{3} \pi (\frac{r}{5})^3 = \frac{4}{3 \cdot 125} \pi r^3 = \frac{1}{125}V\).
• 4) Объем шара уменьшится в 8 раз. Если радиус уменьшить на 50%, то есть в 2 раза, то \(V' = \frac{4}{3} \pi (\frac{r}{2})^3 = \frac{4}{3 \cdot 8} \pi r^3 = \frac{1}{8}V\).

4. Объемы двух шаров пропорциональны ... их радиусам в кубе, а площади их поверхности пропорциональны ... их радиусам в квадрате.

Ответ: смотри решение