Контрольные работы Контрольная работа № 2 І вариант 1. Сторона треугольника равна 5 см, а высота, проведенная к ней, в два раза больше стороны. Найдите площадь треугольника. 2. Катеты прямоугольного треугольника равны 6 и 8 см. Найдите гипотенузу и площадь треугольника. 3. Найдите площадь и периметр ромба, если его диагонали равны 8 и 10 см. 4*. В прямоугольной трапеции АВСК большая боковая сторона равна 3√2 см, угол К равен 45°, а высота СН делит основание АК пополам. Найдите площадь трапеции.

1.

Сторона треугольника: $$a = 5 \text{ см}$$.

Высота, проведенная к ней: $$h = 2a = 2 \cdot 5 = 10 \text{ см}$$.

Площадь треугольника вычисляется по формуле: $$S = \frac{1}{2} a h$$.

Площадь треугольника: $$S = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 10 = 25 \text{ см}^2$$.

Ответ: $$25 \text{ см}^2$$

2.

Катеты прямоугольного треугольника: $$a = 6 \text{ см}, b = 8 \text{ см}$$.

Гипотенузу найдем по теореме Пифагора: $$c = \sqrt{a^2 + b^2}$$.

Гипотенуза: $$c = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \text{ см}$$.

Площадь прямоугольного треугольника: $$S = \frac{1}{2} a b$$.

Площадь: $$S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24 \text{ см}^2$$.

Ответ: гипотенуза $$10 \text{ см}$$, площадь $$24 \text{ см}^2$$

3.

Диагонали ромба: $$d_1 = 8 \text{ см}, d_2 = 10 \text{ см}$$.

Площадь ромба: $$S = \frac{1}{2} d_1 d_2$$.

Площадь: $$S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 10 = 40 \text{ см}^2$$.

Сторона ромба: $$a = \sqrt{(\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2}$$.

Сторона: $$a = \sqrt{(\frac{8}{2})^2 + (\frac{10}{2})^2} = \sqrt{4^2 + 5^2} = \sqrt{16 + 25} = \sqrt{41} \text{ см}$$.

Периметр ромба: $$P = 4a$$.

Периметр: $$P = 4 \sqrt{41} \text{ см}$$.

Ответ: площадь $$40 \text{ см}^2$$, периметр $$4\sqrt{41} \text{ см}$$

4.

В прямоугольной трапеции АВСК большая боковая сторона $$AB = 3\sqrt{2} \text{ см}$$, угол $$K = 45^\circ$$, высота СН делит основание АК пополам.

Т.к. угол $$K = 45^\circ$$, то угол $$B = 135^\circ$$.

Рассмотрим треугольник $$\Delta ABH$$: $$BH = AB \cdot \sin 45^\circ = 3\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 3 \text{ см}$$.

Так как высота СН делит основание АК пополам, то $$AH = \frac{AK}{2}$$.

$$AH = AB \cdot \cos 45^\circ = 3\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 3 \text{ см}$$.

Так как $$CH = BH = 3 \text{ см}$$, то $$BC = AH = 3 \text{ см}$$.

$$AK = AH + HK = 3 + 3 = 6 \text{ см}$$.

Площадь трапеции: $$S = \frac{BC + AK}{2} \cdot BH$$.

Площадь: $$S = \frac{3 + 6}{2} \cdot 3 = \frac{9}{2} \cdot 3 = \frac{27}{2} = 13.5 \text{ см}^2$$.

Ответ: $$13.5 \text{ см}^2$$