Контрольная работа Вариант 1 1. Решите уравнение: a) logs (x+3) = 2-log5(2x+1); б) 4* + 2x+2-12 = 0. 2. Решите неравенство log3 x ≤11-x. 3. При каких значениях параметра а уравнение 1 3 -х -1 = а имеет три корня? 3

Вариант 1

1. Решите уравнение:
   • a) \(\log_5(x+3) = 2 - \log_5(2x+1)\);
   • б) \(4^x + 2^{x+2} - 12 = 0\).
2. Решите неравенство \(\log_3 x \le 11 - x\).
3. При каких значениях параметра \(a\) уравнение \(\frac{1}{3}x^3 - x - 1 = a\) имеет три корня?

Решение №1 (а)

Логика такая: сначала используем свойства логарифмов, чтобы упростить уравнение, а затем решаем полученное уравнение.

Решаем уравнение: \(\log_5(x+3) = 2 - \log_5(2x+1)\)

1. Преобразуем уравнение, используя свойства логарифмов: \(\log_5(x+3) + \log_5(2x+1) = 2\) \(\log_5((x+3)(2x+1)) = 2\)
2. Избавляемся от логарифма: \((x+3)(2x+1) = 5^2\) \(2x^2 + x + 6x + 3 = 25\) \(2x^2 + 7x - 22 = 0\)
3. Решаем квадратное уравнение: \(D = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-22) = 49 + 176 = 225\) \(x_1 = \frac{-7 + \sqrt{225}}{2 \cdot 2} = \frac{-7 + 15}{4} = \frac{8}{4} = 2\) \(x_2 = \frac{-7 - \sqrt{225}}{2 \cdot 2} = \frac{-7 - 15}{4} = \frac{-22}{4} = -5.5\)
4. Проверяем корни на допустимость (подставляем в исходное уравнение): Для \(x_1 = 2\): \(\log_5(2+3) = 2 - \log_5(2 \cdot 2 + 1)\) \(\log_5(5) = 2 - \log_5(5)\) \(1 = 2 - 1\) \(1 = 1\) (верно) Для \(x_2 = -5.5\): \(\log_5(-5.5+3) = 2 - \log_5(2 \cdot (-5.5) + 1)\) Логарифм отрицательного числа не существует, поэтому \(x_2 = -5.5\) не является решением.

Ответ: \(x = 2\)

Решение №1 (б)

Решаем уравнение: \(4^x + 2^{x+2} - 12 = 0\)

1. Преобразуем уравнение: \((2^2)^x + 2^x \cdot 2^2 - 12 = 0\) \((2^x)^2 + 4 \cdot 2^x - 12 = 0\)
2. Замена переменной: Пусть \(y = 2^x\), тогда уравнение примет вид: \(y^2 + 4y - 12 = 0\)
3. Решаем квадратное уравнение: \(D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 16 + 48 = 64\) \(y_1 = \frac{-4 + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 + 8}{2} = \frac{4}{2} = 2\) \(y_2 = \frac{-4 - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 - 8}{2} = \frac{-12}{2} = -6\)
4. Возвращаемся к исходной переменной: \(2^x = 2\) или \(2^x = -6\) \(2^x = 2\) дает \(x = 1\) \(2^x = -6\) не имеет решений, так как показательная функция всегда положительна.

Ответ: \(x = 1\)

Решение №2

Решаем неравенство: \(\log_3 x \le 11 - x\)

Логика такая: Решить это неравенство аналитически сложно, поэтому используем графический метод. Строим графики функций \(y = \log_3 x\) и \(y = 11 - x\) и ищем область, где график логарифмической функции находится ниже или на уровне графика линейной функции.

• График функции \(y = \log_3 x\) — это логарифмическая функция с основанием 3.
• График функции \(y = 11 - x\) — это прямая линия с угловым коэффициентом -1 и пересечением оси y в точке (0, 11).

Построим графики и найдем точку пересечения графиков (приблизительно). Точка пересечения находится между 8 и 9.

Анализируя графики, видно, что \(\log_3 x \le 11 - x\) при \(0 < x \le 9\)

Ответ: \(0 < x \le 9\)

Решение №3

При каких значениях параметра \(a\) уравнение \(\frac{1}{3}x^3 - x - 1 = a\) имеет три корня?

Логика такая: Чтобы определить, при каких значениях параметра \(a\) уравнение имеет три корня, нужно исследовать функцию \(f(x) = \frac{1}{3}x^3 - x - 1\) и найти её экстремумы. Затем, в зависимости от значений параметра \(a\), определить количество точек пересечения графика функции \(f(x)\) с горизонтальной прямой \(y = a\).

1. Находим производную функции \(f(x) = \frac{1}{3}x^3 - x - 1\): \(f'(x) = x^2 - 1\)
2. Находим критические точки, приравняв производную к нулю: \(x^2 - 1 = 0\) \(x^2 = 1\) \(x_1 = 1, x_2 = -1\)
3. Находим значения функции в критических точках: \(f(1) = \frac{1}{3}(1)^3 - 1 - 1 = \frac{1}{3} - 2 = -\frac{5}{3}\) \(f(-1) = \frac{1}{3}(-1)^3 - (-1) - 1 = -\frac{1}{3} + 1 - 1 = -\frac{1}{3}\)
4. Уравнение имеет три корня, когда горизонтальная прямая \(y = a\) пересекает график функции в трех точках. Это происходит, когда \(a\) находится между значениями функции в точках экстремума: \(-\frac{5}{3} < a < -\frac{1}{3}\)

Ответ: \(-\frac{5}{3} < a < -\frac{1}{3}\)