Контрольная работа «Уравнения с двумя переменными и их системы» Вариант 2 1. Найдите координаты точек пересечения графика уравнения х - 2y = 5 с осью х и осью у. 2. Укажите, в каких координатных четвертях располагается график 3х – 6y = 9 3. Постройте график уравнения 5х2 = 10 - у 4. Напишите уравнение окружности с центром в точке К (0;5) и радиусом 4. 5. Решите системы уравнений: (3x² + y = 9 a) (7x2 - y = 1 2 (3x² - 4x = y б) (3x-4 = y 6. Сумма двух чисел равна 12, а их произведение 20. Найдите эти числа. (y - x² = 0 7. Решите графически систему уравнений (x + y = 6

1. Найдите координаты точек пересечения графика уравнения x - 2y = 5 с осью х и осью у.

Для нахождения точек пересечения с осью x, нужно положить y = 0, а для оси y - x = 0.

• С осью x:

Подставляем y = 0 в уравнение: x - 2(0) = 5

x = 5

Точка пересечения с осью x: (5, 0)

• С осью y:

Подставляем x = 0 в уравнение: 0 - 2y = 5

-2y = 5

y = -2.5

Точка пересечения с осью y: (0, -2.5)

Ответ: Точки пересечения графика уравнения x - 2y = 5 с осью x: (5, 0) и с осью y: (0, -2.5)

2. Укажите, в каких координатных четвертях располагается график 3x – 6y = 9

Сначала приведем уравнение к виду y = kx + b:

3x - 6y = 9

-6y = -3x + 9

y = (1/2)x - 3/2

Теперь проанализируем график. Это прямая линия с угловым коэффициентом k = 1/2 и сдвигом по оси y на -3/2.

k > 0, то прямая возрастает.

Прямая пересекает ось y в точке (0, -3/2), значит, она проходит через III и IV четверти.

Прямая также пересекает ось x в точке (3, 0), значит, она проходит через I и IV четверти.

Ответ: График располагается в I, III и IV координатных четвертях.

3. Постройте график уравнения 5x² = 10 - y

Выразим y через x:

y = 10 - 5x²

Это парабола, ветви которой направлены вниз. Вершина параболы находится в точке (0, 10).

Чтобы построить график, нужно найти несколько точек, например:

• x = -2, y = 10 - 5(-2)² = 10 - 20 = -10
• x = -1, y = 10 - 5(-1)² = 10 - 5 = 5
• x = 0, y = 10 - 5(0)² = 10
• x = 1, y = 10 - 5(1)² = 10 - 5 = 5
• x = 2, y = 10 - 5(2)² = 10 - 20 = -10

Теперь можно нарисовать график, используя эти точки.

Ответ: График - парабола с вершиной (0, 10), ветви направлены вниз. Для построения графика можно использовать точки (-2, -10), (-1, 5), (0, 10), (1, 5), (2, -10).

4. Напишите уравнение окружности с центром в точке K(0;5) и радиусом 4.

Уравнение окружности с центром в точке (a, b) и радиусом R имеет вид:

(x - a)² + (y - b)² = R²

В данном случае, центр окружности K(0; 5) и радиус R = 4.

Подставляем значения в уравнение:

(x - 0)² + (y - 5)² = 4²

x² + (y - 5)² = 16

Ответ: Уравнение окружности: x² + (y - 5)² = 16

5. Решите системы уравнений:

a)

\[\begin{cases}3x^2 + y = 9 \\ 7x^2 - y = 1\end{cases}\]

Сложим оба уравнения:

10x² = 10

x² = 1

x = ±1

Теперь найдем y для каждого значения x:

• Если x = 1:

3(1)² + y = 9

3 + y = 9

y = 6

Решение: (1, 6)

• Если x = -1:

3(-1)² + y = 9

3 + y = 9

y = 6

Решение: (-1, 6)

Ответ: Решения системы уравнений: (1, 6) и (-1, 6)

б)

\[\begin{cases}3x^2 - 4x = y \\ 3x - 4 = y\end{cases}\]

Приравняем правые части уравнений:

3x² - 4x = 3x - 4

3x² - 7x + 4 = 0

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

D = (-7)² - 4 * 3 * 4 = 49 - 48 = 1

x₁ = (7 + √1) / (2 * 3) = (7 + 1) / 6 = 8 / 6 = 4/3

x₂ = (7 - √1) / (2 * 3) = (7 - 1) / 6 = 6 / 6 = 1

Теперь найдем y для каждого значения x:

• Если x = 4/3:

y = 3(4/3) - 4 = 4 - 4 = 0

Решение: (4/3, 0)

• Если x = 1:

y = 3(1) - 4 = 3 - 4 = -1

Решение: (1, -1)

Ответ: Решения системы уравнений: (4/3, 0) и (1, -1)

6. Сумма двух чисел равна 12, а их произведение 20. Найдите эти числа.

Пусть x и y - искомые числа. Тогда:

\[\begin{cases}x + y = 12 \\ x \cdot y = 20\end{cases}\]

Выразим y через x из первого уравнения:

y = 12 - x

Подставим это выражение во второе уравнение:

x(12 - x) = 20

12x - x² = 20

x² - 12x + 20 = 0

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

D = (-12)² - 4 * 1 * 20 = 144 - 80 = 64

x₁ = (12 + √64) / (2 * 1) = (12 + 8) / 2 = 20 / 2 = 10

x₂ = (12 - √64) / (2 * 1) = (12 - 8) / 2 = 4 / 2 = 2

Теперь найдем y для каждого значения x:

• Если x = 10:

y = 12 - 10 = 2

• Если x = 2:

y = 12 - 2 = 10

Ответ: Искомые числа: 2 и 10.

7. Решите графически систему уравнений:

\[\begin{cases}y - x^2 = 0 \\ x + y = 6\end{cases}\]

Выразим y из обоих уравнений:

\[\begin{cases}y = x^2 \\ y = 6 - x\end{cases}\]

Строим графики функций y = x² (парабола) и y = 6 - x (прямая).

Найдем точки пересечения графиков, приравняв правые части уравнений:

x² = 6 - x

x² + x - 6 = 0

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

D = 1² - 4 * 1 * (-6) = 1 + 24 = 25

x₁ = (-1 + √25) / (2 * 1) = (-1 + 5) / 2 = 4 / 2 = 2

x₂ = (-1 - √25) / (2 * 1) = (-1 - 5) / 2 = -6 / 2 = -3

Теперь найдем y для каждого значения x:

• Если x = 2:

y = 2² = 4

Решение: (2, 4)

• Если x = -3:

y = (-3)² = 9

Решение: (-3, 9)

Ответ: Решения системы уравнений: (2, 4) и (-3, 9)

Ответ: (5;0) и (0;-2,5); I,III и IV; y = 10 - 5x^2; x² + (y - 5)² = 16; (1, 6) и (-1, 6); (4/3, 0) и (1, -1); 2 и 10; (2, 4) и (-3, 9)