Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВопрос:
Контрольная работа по теме: « Числовые последовательности» вариант 1 1. Дано: (х) – арифметическая прогрессия. Найти : Х1, если х2=81; х3=72. 2. Дано: (bn) — геометрическая прогрессия. Найти: b4, если b₁=24; q= 1 3. Дано: (а) – арифметическая прогрессия. Найти : S4, если а₁=3; d=7. 4. Дано: (bn) — геометрическая прогрессия. 1 Найти: S5, если b₁=32; q=. 5. Дано: (а) – арифметическая прогрессия. Найти: п, если а₁=8,5; d=0,3, an=10,9. 6. Дано: (bn) – геометрическая прогрессия. Найти: 55, если в₃=18, b5=162, q>0.
Ответ:
Краткое пояснение: Решим задачи на арифметическую и геометрическую прогрессии, используя известные формулы для нахождения членов и сумм прогрессий.
Задание 1
Дано: арифметическая прогрессия \(x_2 = 81\), \(x_3 = 72\). Найти: \(x_1\)
Решение:- В арифметической прогрессии разность \(d\) между соседними членами постоянна.
- Найдем \(d\) как разность между \(x_3\) и \(x_2\): \[d = x_3 - x_2 = 72 - 81 = -9\]
- Теперь найдем \(x_1\), используя формулу \(x_2 = x_1 + d\): \[x_1 = x_2 - d = 81 - (-9) = 81 + 9 = 90\]
Ответ: \(x_1 = 90\)
Задание 2
Дано: геометрическая прогрессия \(b_1 = 24\), \(q = \frac{1}{2}\). Найти: \(b_4\)
Решение:- В геометрической прогрессии каждый следующий член получается умножением предыдущего на знаменатель \(q\).
- Используем формулу \(b_n = b_1 \cdot q^{n-1}\), чтобы найти \(b_4\): \[b_4 = b_1 \cdot q^{4-1} = 24 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3 = 24 \cdot \frac{1}{8} = 3\]
Ответ: \(b_4 = 3\)
Задание 3
Дано: арифметическая прогрессия \(a_1 = 3\), \(d = 7\). Найти: \(S_4\)
Решение:- Сумма \(n\) членов арифметической прогрессии находится по формуле: \[S_n = \frac{n}{2} \cdot (2a_1 + (n-1)d)\]
- Подставим \(n = 4\), \(a_1 = 3\), \(d = 7\) в формулу: \[S_4 = \frac{4}{2} \cdot (2 \cdot 3 + (4-1) \cdot 7) = 2 \cdot (6 + 3 \cdot 7) = 2 \cdot (6 + 21) = 2 \cdot 27 = 54\]
Ответ: \(S_4 = 54\)
Задание 4
Дано: геометрическая прогрессия \(b_1 = 32\), \(q = \frac{1}{2}\). Найти: \(S_5\)
Решение:- Сумма \(n\) членов геометрической прогрессии находится по формуле: \[S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}\]
- Подставим \(n = 5\), \(b_1 = 32\), \(q = \frac{1}{2}\) в формулу: \[S_5 = \frac{32 \cdot (1 - (\frac{1}{2})^5)}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{32 \cdot (1 - \frac{1}{32})}{\frac{1}{2}} = \frac{32 \cdot \frac{31}{32}}{\frac{1}{2}} = 31 \cdot 2 = 62\]
Ответ: \(S_5 = 62\)
Задание 5
Дано: арифметическая прогрессия \(a_1 = 8.5\), \(d = 0.3\), \(a_n = 10.9\). Найти: \(n\)
Решение:- Используем формулу для \(n\)-го члена арифметической прогрессии: \[a_n = a_1 + (n-1)d\]
- Выразим \(n\) из этой формулы: \[n = \frac{a_n - a_1}{d} + 1\]
- Подставим значения: \[n = \frac{10.9 - 8.5}{0.3} + 1 = \frac{2.4}{0.3} + 1 = 8 + 1 = 9\]
Ответ: \(n = 9\)
Задание 6
Дано: геометрическая прогрессия \(b_3 = 18\), \(b_5 = 162\), \(q > 0\). Найти: \(S_5\)
Решение:- Используем формулу для \(n\)-го члена геометрической прогрессии: \[b_n = b_1 \cdot q^{n-1}\]
- Выразим \(b_5\) и \(b_3\): \[b_5 = b_1 \cdot q^4, \quad b_3 = b_1 \cdot q^2\]
- Разделим \(b_5\) на \(b_3\): \[\frac{b_5}{b_3} = \frac{b_1 \cdot q^4}{b_1 \cdot q^2} = q^2\]
- Тогда \(q^2 = \frac{162}{18} = 9\). Так как \(q > 0\), то \(q = 3\).
- Найдем \(b_1\) из \(b_3 = b_1 \cdot q^2\): \[b_1 = \frac{b_3}{q^2} = \frac{18}{9} = 2\]
- Теперь найдем \(S_5\) по формуле: \[S_5 = \frac{b_1(1 - q^5)}{1 - q} = \frac{2(1 - 3^5)}{1 - 3} = \frac{2(1 - 243)}{-2} = \frac{2(-242)}{-2} = 242\]
Ответ: \(S_5 = 242\)
