Контрольная работа «Логарифмы» Вариант 2 1. Вычислить: 1 1) 1063 27: 2) (\frac{1}{3})^{2 log_\frac{1}{3} 7} 3) log2 56 + 2 logz 12-log2 63 2. Найти область определения функции (x-1)(x+4) y = log 4\frac{}{11}\frac{}{3-x} 3. Сравнить числа: logo, 1 \frac{1}{2} и logo, 1 \frac{1}{3} 4. Решить уравнение: 1) log4(2x + 3) = 3 2)log3(x8)+log3 8 = 2 3) log√x + log, x = 10 5. Решить неравенство: 1)log5(x-3) <2 2) (log2x)² - 3 log2 x ≤4

Привет! Сейчас помогу тебе с контрольной работой по логарифмам. Будем решать всё по порядку.

1. Вычислить:

1) \[\log_3 \frac{1}{27}\]

Давай вспомним, что такое логарифм. \[\log_a b = x\] означает, что \[a^x = b\]

В нашем случае, \[\log_3 \frac{1}{27} = x\] означает \[3^x = \frac{1}{27}\]

Так как \[\frac{1}{27} = 3^{-3}\], то \[x = -3\]

2)\[(\frac{1}{3})^{2 \log_{\frac{1}{3}} 7}\]

Используем свойство логарифмов: \[a^{\log_a b} = b\] и \[(a^b)^c = a^{b \cdot c}\]

Тогда \[(\frac{1}{3})^{2 \log_{\frac{1}{3}} 7} = ((\frac{1}{3})^{\log_{\frac{1}{3}} 7})^2 = 7^2 = 49\]

3) \[\log_2 56 + 2 \log_2 12 - \log_2 63\]

Используем свойства логарифмов: \[\log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c)\] и \[n \log_a b = \log_a (b^n)\]

Тогда: \[\log_2 56 + 2 \log_2 12 - \log_2 63 = \log_2 56 + \log_2 (12^2) - \log_2 63 = \log_2 (56 \cdot 144) - \log_2 63 = \log_2 \frac{56 \cdot 144}{63} = \log_2 \frac{8 \cdot 144}{9} = \log_2 (8 \cdot 16) = \log_2 128\]

Так как \[128 = 2^7\], то \[\log_2 128 = 7\]

2. Найти область определения функции

\[y = \log_4 \frac{(x-1)(x+4)}{3-x}\]

Чтобы найти область определения, нужно учесть два условия:

1. Аргумент логарифма должен быть больше нуля: \[\frac{(x-1)(x+4)}{3-x} > 0\]
2. Основание логарифма должно быть больше нуля и не равно единице. В данном случае основание равно 4, что удовлетворяет условиям.

Решаем неравенство методом интервалов. Находим нули числителя и знаменателя:

• \[x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1\]
• \[x + 4 = 0 \Rightarrow x = -4\]
• \[3 - x = 0 \Rightarrow x = 3\]

Отмечаем эти точки на числовой прямой и определяем знаки на каждом интервале:

        +       -       +       -
------(-4)-----(1)-----(3)-------> x

Нам нужны интервалы, где выражение больше нуля. Также нужно исключить точку, где знаменатель равен нулю (x = 3), так как на ноль делить нельзя.

Таким образом, область определения функции:

\[x \in (-4; 1) \cup (3; +\infty)\]

3. Сравнить числа: \[\log_{0.9} 1\frac{1}{2}\] и \[\log_{0.9} 1\frac{1}{3}\]

Сравним числа \[\log_{0.9} 1.5\] и \[\log_{0.9} \frac{4}{3}\]

Основание логарифма меньше 1, значит, функция убывает. Это означает, что большему аргументу соответствует меньшее значение логарифма.

Сравним аргументы: \[1.5 = \frac{3}{2} = \frac{9}{6}\] и \[\frac{4}{3} = \frac{8}{6}\]

Так как \[\frac{9}{6} > \frac{8}{6}\], то \[1.5 > \frac{4}{3}\]

Следовательно, \[\log_{0.9} 1.5 < \log_{0.9} \frac{4}{3}\]

4. Решить уравнение:

1) \[\log_4 (2x + 3) = 3\]

Используем определение логарифма: \[4^3 = 2x + 3\]

\[64 = 2x + 3\]

\[2x = 61\]

\[x = \frac{61}{2} = 30.5\]

Проверим, что аргумент логарифма положителен: \[2 \cdot 30.5 + 3 = 61 + 3 = 64 > 0\]

2) \[\log_3 (x - 8) + \log_3 8 = 2\]

Используем свойство логарифмов: \[\log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c)\]

\[\log_3 (8(x - 8)) = 2\]

Используем определение логарифма: \[3^2 = 8(x - 8)\]

\[9 = 8x - 64\]

\[8x = 73\]

\[x = \frac{73}{8} = 9.125\]

Проверим, что аргумент логарифма положителен: \[x - 8 = 9.125 - 8 = 1.125 > 0\]

3) \[\log_{\sqrt{3}} x + \log_9 x = 10\]

Используем формулу перехода к другому основанию: \[\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}\]

Перейдем к основанию 3: \[\log_{\sqrt{3}} x = \frac{\log_3 x}{\log_3 \sqrt{3}} = \frac{\log_3 x}{\frac{1}{2}} = 2 \log_3 x\]

\[\log_9 x = \frac{\log_3 x}{\log_3 9} = \frac{\log_3 x}{2}\]

Тогда уравнение примет вид: \[2 \log_3 x + \frac{1}{2} \log_3 x = 10\]

\[\frac{5}{2} \log_3 x = 10\]

\[\log_3 x = 4\]

\[x = 3^4 = 81\]

Проверим, что аргумент логарифма положителен: \[x = 81 > 0\]

5. Решить неравенство:

1) \[\log_5 (x - 3) < 2\]

Используем определение логарифма: \[x - 3 < 5^2\]

\[x - 3 < 25\]

\[x < 28\]

Также нужно учесть, что аргумент логарифма должен быть больше нуля: \[x - 3 > 0\]

\[x > 3\]

Таким образом, решение неравенства: \[3 < x < 28\]

2) \[(\log_2 x)^2 - 3 \log_2 x \le 4\]

Пусть \[t = \log_2 x\]

Тогда неравенство примет вид: \[t^2 - 3t \le 4\]

\[t^2 - 3t - 4 \le 0\]

Решаем квадратное уравнение: \[t^2 - 3t - 4 = 0\]

Дискриминант: \[D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25\]

\[t_1 = \frac{3 + 5}{2} = 4\]

\[t_2 = \frac{3 - 5}{2} = -1\]

Тогда неравенство можно записать как: \[(t - 4)(t + 1) \le 0\]

Решением будут значения между корнями: \[-1 \le t \le 4\]

Возвращаемся к переменной x: \[-1 \le \log_2 x \le 4\]

\[2^{-1} \le x \le 2^4\]

\[\frac{1}{2} \le x \le 16\]

• 1.1) -3, 1.2) 49, 1.3) 7
• 2) \[x \in (-4; 1) \cup (3; +\infty)\]
• 3) \[\log_{0.9} 1.5 < \log_{0.9} \frac{4}{3}\]
• 4.1) 30.5, 4.2) 9.125, 4.3) 81
• 5.1) \[3 < x < 28\], 5.2) \[\frac{1}{2} \le x \le 16\]

Умничка! Ты отлично справился с этой контрольной работой. Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!