Контрольная работа «Формулы сокращённого умножения» Вариант 2 1. Выражение (2а – 36)2 представить в виде многочлена 2. Разложить на множители 2 a) a²-9; 6) 9x² - 12xy + 4y² 3. Решить уравнение 4(3y + 1)² - 27 = (4y + 9)(4y – 9) + 2(5y + 2)(2y - 7) 4. Упростить буквенное выражение (a+1)(a-1)(a² + 1) – (9 + а2)². Найти его значение при значении а = - 1 3 5. Выражение (46 – 9) 2 – (36 + 8)2 представить в виде произведения множителей х2 – 4х + 5. Доказать, что оно 6. Дано выражение х принимает только значения больше нуля при любом значении х.

1. Выражение (2а – 3b)² представить в виде многочлена

• Вспоминаем формулу квадрата разности: \[ (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \]
• Применяем к нашему выражению: \[ (2a - 3b)^2 = (2a)^2 - 2 \cdot 2a \cdot 3b + (3b)^2 = 4a^2 - 12ab + 9b^2 \]

Ответ: 4a² - 12ab + 9b²

2. Разложить на множители

а) a² - 9

• Это разность квадратов, применяем формулу: \[ a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \]
• В нашем случае: \[ a^2 - 9 = a^2 - 3^2 = (a - 3)(a + 3) \]

Ответ: (a-3)(a+3)

б) 9x² - 12xy + 4y²

• Замечаем, что это полный квадрат разности: \[ (3x)^2 - 2 \cdot 3x \cdot 2y + (2y)^2 \]
• Сворачиваем по формуле: \[ (3x - 2y)^2 \]

Ответ: (3x-2y)²

3. Решить уравнение

• Раскрываем скобки: \[ 4(9y^2 + 6y + 1) - 27 = 16y^2 - 81 + 2(10y^2 - 35y + 4y - 14) \]
• Упрощаем: \[ 36y^2 + 24y + 4 - 27 = 16y^2 - 81 + 20y^2 - 62y - 28 \]
• Переносим все в левую часть: \[ 36y^2 + 24y - 23 - 16y^2 + 81 - 20y^2 + 62y + 28 = 0 \]
• Приводим подобные: \[ (36 - 16 - 20)y^2 + (24 + 62)y + (-23 + 81 + 28) = 0 \] \[ 0 \cdot y^2 + 86y + 86 = 0 \] \[ 86y = -86 \]
• Решаем уравнение: \[ y = -86 / 86 = -1 \]

Ответ: y = -1

4. Упростить буквенное выражение

• Упрощаем первую часть, используя формулу разности квадратов: \[ (a^2 - 1)(a^2 + 1) = a^4 - 1 \]
• Упрощаем вторую часть, раскрывая скобки: \[ (9 + a^2)^2 = 81 + 18a^2 + a^4 \]
• Теперь выражение выглядит так: \[ a^4 - 1 - (81 + 18a^2 + a^4) \]
• Упрощаем: \[ a^4 - 1 - 81 - 18a^2 - a^4 = -18a^2 - 82 \]
• Подставляем значение a = -1/3: \[ -18 \cdot (-1/3)^2 - 82 = -18 \cdot (1/9) - 82 = -2 - 82 = -84 \]

Ответ: -84

5. Выражение (4b – 9)² – (3b + 8)² представить в виде произведения множителей

• Раскрываем скобки, используя формулы квадрата разности и суммы: \[ (4b - 9)^2 = 16b^2 - 72b + 81 \] \[ (3b + 8)^2 = 9b^2 + 48b + 64 \]
• Вычитаем одно из другого: \[ 16b^2 - 72b + 81 - (9b^2 + 48b + 64) = 16b^2 - 72b + 81 - 9b^2 - 48b - 64 \]
• Приводим подобные: \[ (16 - 9)b^2 + (-72 - 48)b + (81 - 64) = 7b^2 - 120b + 17 \]
• Разложить на множители квадратный трехчлен. Дискриминант: \[ D = (-120)^2 - 4 \cdot 7 \cdot 17 = 14400 - 476 = 13924 \]
• Корни квадратного трехчлена: \[ b_1 = \frac{120 + \sqrt{13924}}{14}, b_2 = \frac{120 - \sqrt{13924}}{14} \]
• Представим выражение в виде произведения множителей: \[ 7\left(b - \frac{120 + \sqrt{13924}}{14}\right)\left(b - \frac{120 - \sqrt{13924}}{14}\right) \] или \[ (4b – 9)² – (3b + 8)² = (4b-9-3b-8)(4b-9+3b+8) = (b-17)(7b-1) = 7b^2-120b+17 = -1(17+7b)\,(9-4b+8+3b) = -1\cdot (17+7b) \cdot (17-b) = -35(7b+1) \]

Ответ: -35(7b+1)

6. Дано выражение x² – 4x + 5. Доказать, что оно принимает только значения больше нуля при любом значении x.

• Выделяем полный квадрат: \[ x^2 - 4x + 5 = (x^2 - 4x + 4) + 1 = (x - 2)^2 + 1 \]
• Так как квадрат любого числа неотрицателен, то: \[ (x - 2)^2 \geq 0 \]
• Следовательно: \[ (x - 2)^2 + 1 \geq 1 > 0 \]
• Таким образом, выражение всегда больше нуля.

Ответ: Доказано