Контрольная работа за III четверть Вариант І C 1. Дано: ав, 516 a 4 |, с - секущая, 21+22=102°. Найти: все образовавшиеся углы. う 32 78 2. Отрезок AD - биссектриса треугольника АВС. Через точку D проведена прямая, параллельная стороне АВ и пересекающая сторону АС в точке F. Найти углы треугольника ADF, если BAC = 72°. 3. Приведите выражение к стандартному виду: a)-9m²n³ 5n² · m²; 6) (-4m²n²)4. в) (14x²-6x+18) - (3x² + x - 5) 4. Приведите подобные слагаемые: a)5x-3y-11x² + 16y. 6) 25p+7a-12p-10a. в)а³+6bc³-3a³+10bc4 5. Выполните действия: a) 3y²(x+3); 6) - 4x³(3x-8a); в) (с + 2)(с-7); 6. На гистограмме представлены данные по результатам интернет-тестирования по математике учащихся 7-ых классов. Пользуясь гистограммой, найдите: а) число учащихся, набравших от 45 до 54 баллов; б) определите группу по набранным баллам, к которой относится наибольшее количество учащихся; в) общее число учащихся. г) определите шаг группировки. Частота 25 20 15 10 S 27 36 45 54 63 72 81 90 99 БАЛЛЫ

Ответ: смотри решение ниже!

1. Геометрия

Логика такая: углы 1 и 2 - смежные, а значит в сумме дают 180°. Зная это, найдем каждый угол, а потом вспомним свойства углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей.

• Дано: a || b, c - секущая, ∠1 + ∠2 = 102°
• Найти: все образовавшиеся углы

Решение:

• Пусть ∠1 = x, тогда ∠2 = 102° - x
• Т.к. ∠1 и ∠2 - смежные, то x + (102° - x) = 180°
• Получаем: 2x = 180° - 102°
• 2x = 78°
• x = 39°
• Значит, ∠1 = 39°, ∠2 = 102° - 39° = 63°
• ∠3 = ∠1 = 39° (как вертикальные)
• ∠4 = ∠2 = 63° (как вертикальные)
• ∠5 = ∠3 = 39° (как соответственные при a || b и секущей c)
• ∠6 = ∠4 = 63° (как соответственные при a || b и секущей c)
• ∠7 = ∠5 = 39° (как вертикальные)
• ∠8 = ∠6 = 63° (как вертикальные)

Ответ: ∠1 = ∠3 = ∠5 = ∠7 = 39°, ∠2 = ∠4 = ∠6 = ∠8 = 63°

2. Геометрия

Логика такая: вспомним свойства параллельных прямых и биссектрисы, чтобы найти углы треугольника ADF.

• Дано: AD - биссектриса ΔABC, DF || AB, ∠BAC = 72°
• Найти: углы ΔADF

Решение:

• Т.к. AD - биссектриса ∠BAC, то ∠BAD = ∠DAC = 72° / 2 = 36°
• Т.к. DF || AB, то ∠ADF = ∠BAD = 36° (как накрест лежащие при AB || DF и секущей AD)
• ∠AFD = ∠BAC = 72° (как соответственные при AB || DF и секущей AC)
• ∠DAF = 180° - ∠ADF - ∠AFD = 180° - 36° - 72° = 72°

Ответ: ∠ADF = 36°, ∠AFD = 72°, ∠DAF = 72°

3. Алгебра

Логика такая: приведем выражения к стандартному виду, упростив их.

1. a) -9m³n⁵ ⋅ 5n² ⋅ m⁴ = -9 ⋅ 5 ⋅ m³ ⋅ m⁴ ⋅ n⁵ ⋅ n² = -45m⁷n⁷
2. б) (-4m⁷n²)⁴ = (-4)⁴ ⋅ (m⁷)⁴ ⋅ (n²)⁴ = 256m²⁸n⁸
3. в) (14x² - 6x + 18) - (3x² + x - 5) = 14x² - 6x + 18 - 3x² - x + 5 = (14x² - 3x²) + (-6x - x) + (18 + 5) = 11x² - 7x + 23

4. Алгебра

Логика такая: приведем подобные слагаемые, сгруппировав их.

1. a) 5x - 3y - 11x² + 16y = -11x² + 5x + (-3y + 16y) = -11x² + 5x + 13y
2. б) 25p + 7a - 12p - 10a = (25p - 12p) + (7a - 10a) = 13p - 3a
3. в) a³ + 6bc⁴ - 3a³ + 10bc⁴ = (a³ - 3a³) + (6bc⁴ + 10bc⁴) = -2a³ + 16bc⁴

5. Алгебра

Логика такая: выполним указанные действия, раскрыв скобки и упростив выражения.

1. a) 3y²(x + 3) = 3xy² + 9y²
2. б) -4x³(3x - 8a) = -12x⁴ + 32ax³
3. в) (c + 2)(c - 7) = c² - 7c + 2c - 14 = c² - 5c - 14

6. Статистика

Логика такая: анализируем гистограмму, чтобы ответить на вопросы о количестве учащихся и шаге группировки.

1. a) Число учащихся, набравших от 45 до 54 баллов: 17 (смотрим на высоту столбца для этой группы)
2. б) Группа по набранным баллам, к которой относится наибольшее количество учащихся: 63 балла (самый высокий столбец)
3. в) Общее число учащихся: 15 + 17 + 21 + 26 + 20 + 14 + 3 = 116 (сумма высот всех столбцов)
4. г) Шаг группировки: 9 баллов (разница между соседними значениями на оси x: 36 - 27 = 9)

Ответ: смотри решение выше!