Контрольная работа за 1 полугодие. "Свойства и график корня п-ой степени. Иррациональные уравнения" Вариант 1 1. Вычислите: а) \(\sqrt{\frac{1}{9}} + \sqrt[3]{-\frac{10}{27}} + \sqrt[4]{256}\) б) \(\sqrt{2^3 \cdot 3^2} \cdot \sqrt{2^3 \cdot 3^2}\) в) \(\sqrt{6 + \sqrt{35}} \cdot \sqrt{6 - \sqrt{35}}\) 2. Упростите выражение: a) \(\sqrt{a \sqrt{a}}\) ; б) \(6a\sqrt{a} : (3\sqrt{a})\) 3. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе a) \(\frac{6}{\sqrt[3]{3}}\) ; б) \(\frac{1}{\sqrt{2} + 1}\) ; в) \(\frac{9}{\sqrt{25} + \sqrt{10} + \sqrt{4}}\) 4. Решите уравнение: а) \(\sqrt{x^2 - x - 131} = -5\), б) \(\sqrt{x^2 - 10} = -\sqrt{3x}\) в) \(\sqrt{x} + 5\sqrt{x} - 14 = 0\) 5. Постройте график функции \(y = \sqrt{x - 2} + 3\) 1) Найдите наименьшее и наибольшее значение функции на промежутке [3;18] 2) Запишите область определения и множество значений функции 3) Решите графически: а) уравнение \(\sqrt{x - 2} + 3 = 7 - x\) б) неравенство \(\sqrt{x - 2} + 3 < 7 - x\) в) неравенство \(\sqrt{x - 2} + 3 \geq 7 - x\)

1. Вычислите:

а) \(\sqrt{\frac{1}{9}} + \sqrt[3]{-\frac{10}{27}} + \sqrt[4]{256}\)

Сначала упростим каждый корень по отдельности:

• \(\sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{1}{3}\)
• \(\sqrt[3]{-\frac{10}{27}} = -\frac{\sqrt[3]{10}}{3}\)
• \(\sqrt[4]{256} = 4\)

Теперь сложим результаты:

\[\frac{1}{3} - \frac{\sqrt[3]{10}}{3} + 4 = \frac{13}{3} - \frac{\sqrt[3]{10}}{3} = \frac{13 - \sqrt[3]{10}}{3}\]

Ответ: \(\frac{13 - \sqrt[3]{10}}{3}\)

б) \(\sqrt{2^3 \cdot 3^2} \cdot \sqrt{2^3 \cdot 3^2}\)

Упростим выражение под корнем:

\[\sqrt{2^3 \cdot 3^2} = \sqrt{8 \cdot 9} = \sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}\]

Теперь умножим:

\[6\sqrt{2} \cdot 6\sqrt{2} = 36 \cdot 2 = 72\]

Ответ: 72

в) \(\sqrt{6 + \sqrt{35}} \cdot \sqrt{6 - \sqrt{35}}\)

Воспользуемся формулой разности квадратов: \((a + b)(a - b) = a^2 - b^2\)

\[\sqrt{6 + \sqrt{35}} \cdot \sqrt{6 - \sqrt{35}} = \sqrt{(6 + \sqrt{35})(6 - \sqrt{35})} = \sqrt{6^2 - (\sqrt{35})^2} = \sqrt{36 - 35} = \sqrt{1} = 1\]

Ответ: 1

2. Упростите выражение:

а) \(\sqrt{a \sqrt{a}}\)

Представим \(\sqrt{a}\) как \(a^{\frac{1}{2}}\). Тогда:

\[\sqrt{a \sqrt{a}} = \sqrt{a \cdot a^{\frac{1}{2}}} = \sqrt{a^{\frac{3}{2}}} = a^{\frac{3}{4}} = \sqrt[4]{a^3}\]

Ответ: \(\sqrt[4]{a^3}\)

б) \(6a\sqrt{a} : (3\sqrt{a})\)

Упростим выражение:

\[\frac{6a\sqrt{a}}{3\sqrt{a}} = \frac{6a}{3} = 2a\]

Ответ: \(2a\)

3. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе:

а) \(\frac{6}{\sqrt[3]{3}}\)

Умножим числитель и знаменатель на \(\sqrt[3]{3^2}\):

\[\frac{6}{\sqrt[3]{3}} = \frac{6 \cdot \sqrt[3]{3^2}}{\sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[3]{3^2}} = \frac{6 \sqrt[3]{9}}{\sqrt[3]{3^3}} = \frac{6 \sqrt[3]{9}}{3} = 2 \sqrt[3]{9}\]

Ответ: \(2 \sqrt[3]{9}\)

б) \(\frac{1}{\sqrt{2} + 1}\)

Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение \(\sqrt{2} - 1\):

\[\frac{1}{\sqrt{2} + 1} = \frac{1 \cdot (\sqrt{2} - 1)}{(\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 1)} = \frac{\sqrt{2} - 1}{2 - 1} = \sqrt{2} - 1\]

Ответ: \(\sqrt{2} - 1\)

в) \(\frac{9}{\sqrt{25} + \sqrt{10} + \sqrt{4}}\)

Упростим выражение:

\[\frac{9}{5 + \sqrt{10} + 2} = \frac{9}{7 + \sqrt{10}}\]

Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение \(7 - \sqrt{10}\):

\[\frac{9}{7 + \sqrt{10}} = \frac{9(7 - \sqrt{10})}{(7 + \sqrt{10})(7 - \sqrt{10})} = \frac{9(7 - \sqrt{10})}{49 - 10} = \frac{9(7 - \sqrt{10})}{39} = \frac{3(7 - \sqrt{10})}{13} = \frac{21 - 3\sqrt{10}}{13}\]

Ответ: \(\frac{21 - 3\sqrt{10}}{13}\)

4. Решите уравнение:

а) \(\sqrt{x^2 - x - 131} = -5\)

Квадратный корень не может быть отрицательным, следовательно, уравнение не имеет решений.

Ответ: нет решений

б) \(\sqrt{x^2 - 10} = -\sqrt{3x}\)

Обе части уравнения должны быть неотрицательными. Так как правая часть отрицательна, то уравнение может иметь решение только если обе части равны нулю. Тогда \(\sqrt{x^2 - 10} = 0\) и \(-\sqrt{3x} = 0\). Отсюда \(x^2 = 10\) и \(x = 0\). Эти условия не могут выполняться одновременно, следовательно, уравнение не имеет решений.

Ответ: нет решений

в) \(\sqrt{x} + 5\sqrt{x} - 14 = 0\)

Пусть \(t = \sqrt{x}\). Тогда уравнение примет вид:

\[t + 5t - 14 = 0\]\[6t = 14\]\[t = \frac{14}{6} = \frac{7}{3}\]

Теперь найдем \(x\):

\[\sqrt{x} = \frac{7}{3}\]\[x = (\frac{7}{3})^2 = \frac{49}{9}\]

Ответ: \(\frac{49}{9}\)

5. Постройте график функции \(y = \sqrt{x - 2} + 3\)

1) Найдите наименьшее и наибольшее значение функции на промежутке [3;18]

Функция \(y = \sqrt{x - 2} + 3\) является возрастающей на своей области определения. Поэтому наименьшее значение будет в точке \(x = 3\), а наибольшее в точке \(x = 18\).

• Наименьшее значение: \(y(3) = \sqrt{3 - 2} + 3 = \sqrt{1} + 3 = 1 + 3 = 4\)
• Наибольшее значение: \(y(18) = \sqrt{18 - 2} + 3 = \sqrt{16} + 3 = 4 + 3 = 7\)

Ответ: Наименьшее значение равно 4, наибольшее значение равно 7.

2) Запишите область определения и множество значений функции

• Область определения: \(x - 2 \geq 0 \Rightarrow x \geq 2\). Значит, область определения: \([2; +\infty)\)
• Множество значений: \(y = \sqrt{x - 2} + 3 \geq 3\). Значит, множество значений: \([3; +\infty)\)

Ответ: Область определения: \([2; +\infty)\), множество значений: \([3; +\infty)\)

3) Решите графически:

а) уравнение \(\sqrt{x - 2} + 3 = 7 - x\)

Графическое решение заключается в построении графиков функций \(y = \sqrt{x - 2} + 3\) и \(y = 7 - x\) и нахождении точки их пересечения. Однако, без построения графика точно определить точку пересечения сложно.

Попробуем решить аналитически:

\[\sqrt{x - 2} + 3 = 7 - x\]\[\sqrt{x - 2} = 4 - x\]

Обе части уравнения должны быть неотрицательными, то есть \(4 - x \geq 0 \Rightarrow x \leq 4\).

Возведем обе части в квадрат:

\[x - 2 = (4 - x)^2 = 16 - 8x + x^2\]\[x^2 - 9x + 18 = 0\]

Решим квадратное уравнение:

\[D = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 18 = 81 - 72 = 9\]\[x_1 = \frac{9 + \sqrt{9}}{2} = \frac{9 + 3}{2} = 6\]\[x_2 = \frac{9 - \sqrt{9}}{2} = \frac{9 - 3}{2} = 3\]

Проверим корни: \(x_1 = 6\) не удовлетворяет условию \(x \leq 4\), а \(x_2 = 3\) удовлетворяет.

Ответ: \(x = 3\)

б) неравенство \(\sqrt{x - 2} + 3 < 7 - x\)

Решением неравенства будет область, где график функции \(y = \sqrt{x - 2} + 3\) находится ниже графика функции \(y = 7 - x\). Мы знаем, что графики пересекаются в точке \(x = 3\). Также мы знаем, что функция \(\sqrt{x - 2} + 3\) определена при \(x \geq 2\), а также знаем что \(x \leq 4\) (из решения уравнения).

Так как при \(x > 3\) функция \(\sqrt{x - 2} + 3\) возрастает медленнее, чем убывает \(7-x\), то решением будет интервал \((3; + \infty)\). Однако, учитывая ограничение \(x \leq 4\), окончательным ответом будет интервал \((3; 4)\).

Ответ: \(x \in (3; 4)\)

в) неравенство \(\sqrt{x - 2} + 3 \geq 7 - x\)

Решением неравенства будет область, где график функции \(y = \sqrt{x - 2} + 3\) находится выше или на уровне графика функции \(y = 7 - x\). Мы знаем, что графики пересекаются в точке \(x = 3\). Также мы знаем, что функция \(\sqrt{x - 2} + 3\) определена при \(x \geq 2\), а также знаем что \(x \leq 4\) (из решения уравнения).

Так как при \(x < 3\) функция \(\sqrt{x - 2} + 3\) возрастает быстрее, чем убывает \(7-x\), то решением будет интервал \([2; 3]\).

Ответ: \(x \in [2; 3]\)

Ты молодец! У тебя всё получится!