Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаКонтрольная работа №4 Вариант І 1. Упростите выражение: a) 10√3-4√48-√75; 6) (5√2-√18) √2; 6) (3-√2). 2. Сравните: 7√1/7 и 1/2√20. 3. Сократите дробь: а) 6+√6/√30 + √5; 6) 9-a/3+√a. 4. Освободите дробь от знака корня в знаменателе: а) 1/2√5; 6) 8/√7-1. 5. Докажите, что значение выражения 1/2√3+1 - 1/2√3-1 есть число рациональное.
Ответ:
Краткое пояснение:
1. Упростите выражение:
а) \(10\sqrt{3}-4\sqrt{48}-\sqrt{75}\)
Сначала упростим корни, представив подкоренные выражения в виде произведения квадратов и других чисел:
- \(\sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}\)
- \(\sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3}\)
Теперь подставим упрощенные корни в исходное выражение:
\[10\sqrt{3} - 4(4\sqrt{3}) - 5\sqrt{3} = 10\sqrt{3} - 16\sqrt{3} - 5\sqrt{3} = (10 - 16 - 5)\sqrt{3} = -11\sqrt{3}\]б) \((5\sqrt{2}-\sqrt{18})\sqrt{2}\)
Сначала упростим \(\sqrt{18}\):
\[\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2}\]Теперь подставим упрощенный корень в исходное выражение:
\[(5\sqrt{2} - 3\sqrt{2})\sqrt{2} = (2\sqrt{2})\sqrt{2} = 2 \cdot 2 = 4\]в) \((3-\sqrt{2})^2\)
Используем формулу квадрата разности: \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\)
\[(3-\sqrt{2})^2 = 3^2 - 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 9 - 6\sqrt{2} + 2 = 11 - 6\sqrt{2}\]2. Сравните: \(7\sqrt{\frac{1}{7}}\) и \(\frac{1}{2}\sqrt{20}\)
Сначала упростим каждое выражение:
\(7\sqrt{\frac{1}{7}}\)
\[7\sqrt{\frac{1}{7}} = \sqrt{49 \cdot \frac{1}{7}} = \sqrt{7}\]\(\frac{1}{2}\sqrt{20}\)
\[\frac{1}{2}\sqrt{20} = \frac{1}{2}\sqrt{4 \cdot 5} = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{5} = \sqrt{5}\]Теперь сравним \(\sqrt{7}\) и \(\sqrt{5}\). Так как \(7 > 5\), то \(\sqrt{7} > \sqrt{5}\).
Следовательно, \(7\sqrt{\frac{1}{7}} > \frac{1}{2}\sqrt{20}\)
3. Сократите дробь:
а) \(\frac{6+\sqrt{6}}{\sqrt{30}+\sqrt{5}}\)
Вынесем \(\sqrt{5}\) в знаменателе:
\[\frac{6+\sqrt{6}}{\sqrt{30}+\sqrt{5}} = \frac{6+\sqrt{6}}{\sqrt{5}(\sqrt{6}+1)}\]Представим числитель как \(\sqrt{6}(\sqrt{6}+1)\):
\[\frac{\sqrt{6}(\sqrt{6}+1)}{\sqrt{5}(\sqrt{6}+1)} = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{5}} = \sqrt{\frac{6}{5}} = \frac{\sqrt{30}}{5}\]б) \(\frac{9-a}{3+\sqrt{a}}\)
Представим числитель как разность квадратов: \(9 - a = (3 - \sqrt{a})(3 + \sqrt{a})\)
\[\frac{(3 - \sqrt{a})(3 + \sqrt{a})}{3 + \sqrt{a}} = 3 - \sqrt{a}\]4. Освободите дробь от знака корня в знаменателе:
а) \(\frac{1}{2\sqrt{5}}\)
Умножим числитель и знаменатель на \(\sqrt{5}\):
\[\frac{1}{2\sqrt{5}} = \frac{1 \cdot \sqrt{5}}{2\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{2 \cdot 5} = \frac{\sqrt{5}}{10}\]б) \(\frac{8}{\sqrt{7}-1}\)
Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение \(\sqrt{7}+1\):
\[\frac{8}{\sqrt{7}-1} = \frac{8(\sqrt{7}+1)}{(\sqrt{7}-1)(\sqrt{7}+1)} = \frac{8(\sqrt{7}+1)}{7-1} = \frac{8(\sqrt{7}+1)}{6} = \frac{4(\sqrt{7}+1)}{3}\]5. Докажите, что значение выражения \(\frac{1}{2\sqrt{3}+1} - \frac{1}{2\sqrt{3}-1}\) есть число рациональное.
Приведем дроби к общему знаменателю:
\[\frac{1}{2\sqrt{3}+1} - \frac{1}{2\sqrt{3}-1} = \frac{(2\sqrt{3}-1) - (2\sqrt{3}+1)}{(2\sqrt{3}+1)(2\sqrt{3}-1)}\]Упростим числитель и знаменатель:
\[\frac{2\sqrt{3}-1 - 2\sqrt{3}-1}{(2\sqrt{3})^2 - 1^2} = \frac{-2}{12 - 1} = \frac{-2}{11}\]Так как \(\frac{-2}{11}\) является рациональным числом, то утверждение доказано.
Проверка за 10 секунд: Убедись, что все корни упрощены, а иррациональность в знаменателе устранена. Проверь арифметические операции на каждом шаге.
Читерский прием: Используй онлайн-калькуляторы для проверки промежуточных вычислений, чтобы избежать ошибок в арифметике и упрощении выражений.
