Контрольная работа №4 Вариант 2. 1. Вычислить первые три члена последовательности, если последовательность задана формулой п-го члена: n cₙ = 2-( 3 ) 2. В арифметической прогрессии а₁ = −40, d = 4/5. Найти шестой член прогрессии и сумму первых шести членов этой прогресии. 2 3. В геометрической прогрессии b₁ = 3, q = 3. Найти четвёртый член прогрессии и сумму первых пяти её членов. 4. Найти шестой член и разность арифметической прогрессии, если сумма её пятого и седьмого членов равна 54, а второй член равен 39. 5. В геометрической прогрессии b₃ + b₅ = 450, a b₄ + b₆ = 1350. Найти сумму первых шести членов этой прогрессии.

Привет! Давай разберем эту контрольную работу по порядку. У тебя все получится!

Задание 1

Для вычисления первых трех членов последовательности, заданной формулой \[ c_n = 2 - \left(\frac{1}{3}\right)^n \], подставим значения n = 1, 2, 3.

• n = 1: \[ c_1 = 2 - \left(\frac{1}{3}\right)^1 = 2 - \frac{1}{3} = \frac{6}{3} - \frac{1}{3} = \frac{5}{3} \]
• n = 2: \[ c_2 = 2 - \left(\frac{1}{3}\right)^2 = 2 - \frac{1}{9} = \frac{18}{9} - \frac{1}{9} = \frac{17}{9} \]
• n = 3: \[ c_3 = 2 - \left(\frac{1}{3}\right)^3 = 2 - \frac{1}{27} = \frac{54}{27} - \frac{1}{27} = \frac{53}{27} \]

Ответ: \( c_1 = \frac{5}{3}, \quad c_2 = \frac{17}{9}, \quad c_3 = \frac{53}{27} \)

Задание 2

В арифметической прогрессии дано: \( a_1 = -40 \), \( d = \frac{4}{5} \). Нужно найти шестой член \( a_6 \) и сумму первых шести членов \( S_6 \).

Формула для n-го члена арифметической прогрессии: \[ a_n = a_1 + (n-1)d \]

Тогда шестой член: \[ a_6 = -40 + (6-1)\cdot \frac{4}{5} = -40 + 5 \cdot \frac{4}{5} = -40 + 4 = -36 \]

Формула для суммы первых n членов арифметической прогрессии: \[ S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2} \]

Тогда сумма первых шести членов: \[ S_6 = \frac{6(-40 + (-36))}{2} = \frac{6(-76)}{2} = 3(-76) = -228 \]

Ответ: \( a_6 = -36, \quad S_6 = -228 \)

Задание 3

В геометрической прогрессии дано: \( b_1 = \frac{2}{3} \), \( q = 3 \). Найти четвёртый член \( b_4 \) и сумму первых пяти членов \( S_5 \).

Формула для n-го члена геометрической прогрессии: \[ b_n = b_1 \cdot q^{n-1} \]

Тогда четвёртый член: \[ b_4 = \frac{2}{3} \cdot 3^{4-1} = \frac{2}{3} \cdot 3^3 = \frac{2}{3} \cdot 27 = 2 \cdot 9 = 18 \]

Формула для суммы первых n членов геометрической прогрессии: \[ S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1} \]

Тогда сумма первых пяти членов: \[ S_5 = \frac{\frac{2}{3}(3^5 - 1)}{3 - 1} = \frac{\frac{2}{3}(243 - 1)}{2} = \frac{\frac{2}{3}(242)}{2} = \frac{242}{3} = 80\frac{2}{3} \]

Ответ: \( b_4 = 18, \quad S_5 = \frac{242}{3} = 80\frac{2}{3} \)

Задание 4

В арифметической прогрессии сумма пятого и седьмого членов равна 54, а второй член равен 39. Найти шестой член и разность арифметической прогрессии.

Из условия:

• \( a_5 + a_7 = 54 \)
• \( a_2 = 39 \)

Выразим \( a_5 \) и \( a_7 \) через \( a_1 \) и \( d \):

• \( a_5 = a_1 + 4d \)
• \( a_7 = a_1 + 6d \)

Тогда \( a_5 + a_7 = a_1 + 4d + a_1 + 6d = 2a_1 + 10d = 54 \)

Также \( a_2 = a_1 + d = 39 \). Получаем систему уравнений:

\[\begin{cases} 2a_1 + 10d = 54 \\ a_1 + d = 39 \end{cases}\]

Из второго уравнения выразим \( a_1 = 39 - d \) и подставим в первое уравнение:

\[ 2(39 - d) + 10d = 54 \quad \Rightarrow \quad 78 - 2d + 10d = 54 \quad \Rightarrow \quad 8d = 54 - 78 = -24 \quad \Rightarrow \quad d = -3 \]

Тогда \( a_1 = 39 - (-3) = 42 \)

Найдем шестой член: \( a_6 = a_1 + 5d = 42 + 5(-3) = 42 - 15 = 27 \)

Ответ: \( a_6 = 27, \quad d = -3 \)

Задание 5

В геометрической прогрессии дано: \( b_3 + b_5 = 450 \), \( b_4 + b_6 = 1350 \). Найти сумму первых шести членов этой прогрессии.

Запишем уравнения:

• \( b_3 + b_5 = b_1q^2 + b_1q^4 = b_1q^2(1 + q^2) = 450 \)
• \( b_4 + b_6 = b_1q^3 + b_1q^5 = b_1q^3(1 + q^2) = 1350 \)

Разделим второе уравнение на первое:

\[ \frac{b_1q^3(1 + q^2)}{b_1q^2(1 + q^2)} = \frac{1350}{450} \quad \Rightarrow \quad q = 3 \]

Подставим \( q = 3 \) в первое уравнение:

\[ b_1 \cdot 3^2 (1 + 3^2) = 450 \quad \Rightarrow \quad 9b_1(1 + 9) = 450 \quad \Rightarrow \quad 90b_1 = 450 \quad \Rightarrow \quad b_1 = 5 \]

Найдем сумму первых шести членов:

\[ S_6 = \frac{b_1(q^6 - 1)}{q - 1} = \frac{5(3^6 - 1)}{3 - 1} = \frac{5(729 - 1)}{2} = \frac{5 \cdot 728}{2} = 5 \cdot 364 = 1820 \]

Ответ: \( S_6 = 1820 \)

Отлично! Ты хорошо поработал. Не останавливайся на достигнутом, и у тебя все получится!