Контрольная работа Углы и расстояния Вариант 1 1. Основанием прямоугольного параллелепипеда служит квадрат; диагон параллелепипеда равна 3√6 см, а его измерения относятся как 3 : 3 : 6. Найдите: а) измерения параллелепипеда; 2 б) синус угла между диагональю параллелепипеда и плоскостью его основания. JHINING SCCLOTHING OL 2. Плоскости равнобедренных треугольников ABD и АВС с общим основани перпендикулярны. Найдите CD, если AD=10 см, АВ=16 см, ∠CAB=45°. 3. Сторона квадрата MNKL равна с. Через сторону ML проведена плоскость а расстоянии 2 от точки №. NL а) Найдите расстояние от точки № до плоскости а. SNIMIOCKOCIPIO LO OCHOBS б) Покажите на рисунке линейный угол двугранного угла NMLF, Fea. INSLOE 4. Прямая СХ проходит через вершину прямоугольника XYZK и перпендикулярна сторонам ХҮ и ХК. Докажите перпендикулярность плоскостей: СХУ и XYZ. 5. сколиорсон eλιουPHNKOR VED VRC сотни основа CLODORO WARN JOKSIMALE UGDIICHIKANDHOOP DIOCROCIGU HUK

Решение заданий контрольной работы

1. Задача 1:

   Решение задачи 1

   Основанием прямоугольного параллелепипеда служит квадрат, диагональ параллелепипеда равна \(3\sqrt{6}\) см, а его измерения относятся как 3:3:6.

   а) Найдите измерения параллелепипеда;

   Пусть измерения параллелепипеда будут \(3x, 3x, 6x\). Тогда диагональ параллелепипеда \(d\) может быть найдена по формуле:

   \[d = \sqrt{(3x)^2 + (3x)^2 + (6x)^2} = \sqrt{9x^2 + 9x^2 + 36x^2} = \sqrt{54x^2} = 3x\sqrt{6}\]

   Дано, что \(d = 3\sqrt{6}\), поэтому:

   \[3x\sqrt{6} = 3\sqrt{6}\]

   Разделим обе части на \(3\sqrt{6}\):

   \[x = 1\]

   Тогда измерения параллелепипеда:

   • Ширина: \(3x = 3 \cdot 1 = 3\) см
   • Длина: \(3x = 3 \cdot 1 = 3\) см
   • Высота: \(6x = 6 \cdot 1 = 6\) см

   б) синус угла между диагональю параллелепипеда и плоскостью его основания.

   Пусть угол между диагональю и плоскостью основания равен \(\alpha\). Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный диагональю параллелепипеда, его проекцией на плоскость основания и высотой параллелепипеда. Проекция диагонали на основание является диагональю квадрата в основании.

   Диагональ основания \(d_{осн}\) равна:

   \[d_{осн} = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}\]

   Тогда синус угла \(\alpha\) равен отношению высоты к диагонали параллелепипеда:

   \[\sin(\alpha) = \frac{6}{3\sqrt{6}} = \frac{2}{\sqrt{6}} = \frac{2\sqrt{6}}{6} = \frac{\sqrt{6}}{3}\]

2. Задача 2:

   Решение задачи 2

   Плоскости равнобедренных треугольников ABD и ABC с общим основанием AB перпендикулярны. Найдите CD, если AD=10 см, AB=16 см, ∠CAB=45°.

   Так как треугольники ABD и ABC равнобедренные и плоскости перпендикулярны, то можно рассмотреть прямоугольный треугольник, где катеты - высоты этих треугольников, а гипотенуза - CD.

   Найдем высоту CE в треугольнике ABC. Так как треугольник ABC равнобедренный, то CE является медианой и биссектрисой. Тогда AE = 8 см.

   В прямоугольном треугольнике ACE:

   \[\tan(\angle CAB) = \frac{CE}{AE}\] \[\tan(45^\circ) = \frac{CE}{8}\] \[1 = \frac{CE}{8}\] \[CE = 8\]

   Найдем высоту DE в треугольнике ABD. Так как треугольник ABD равнобедренный, то DE является медианой и высотой. Тогда AE = 8 см.

   В прямоугольном треугольнике ADE:

   \[DE = \sqrt{AD^2 - AE^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6\]

   Теперь найдем CD, используя теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике CDE:

   \[CD = \sqrt{CE^2 + DE^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10\]

3. Задача 3:

   Решение задачи 3

   Сторона квадрата MNKL равна c. Через сторону ML проведена плоскость \(\alpha\) на расстоянии \(\frac{c}{2}\) от точки N.

   а) Найдите расстояние от точки N до плоскости \(\alpha\).

   Расстояние от точки N до плоскости \(\alpha\) равно \(\frac{c}{2}\) по условию.

   б) Покажите на рисунке линейный угол двугранного угла NMLF, \(F \in \alpha\).

   Линейный угол двугранного угла NMLF - это угол между перпендикуляром, опущенным из точки N на прямую ML (сторону квадрата) и перпендикуляром, опущенным из точки F на ту же прямую ML. Так как NKLM - квадрат, то угол NML - прямой, т.е. 90 градусов.

4. Задача 4:

   Решение задачи 4

   Прямая CX проходит через вершину прямоугольника XYZK и перпендикулярна сторонам XY и XK. Докажите перпендикулярность плоскостей: CXY и XYZ.

   Так как CX перпендикулярна XY и XK, то CX перпендикулярна плоскости XYZ (по определению перпендикулярности прямой и плоскости). Плоскость CXY содержит прямую CX, перпендикулярную плоскости XYZ. Следовательно, плоскости CXY и XYZ перпендикулярны.

Проверь еще раз вычисления и убедись, что все единицы измерения указаны верно.

База: Помни основные формулы геометрии и определения перпендикулярности прямой и плоскости.