Контрольная работа №3 «Свойства и график корня n-й степени. Иррациональные уравнения» Вариант 1 Задание 1. Выберите рисунок, на котором изображен график функции у= 4 29 0 1) 2) -32 Задание 2. Верно ли равенство: -1 1 4) 16 1) /58 =-5 2) /68 =6 3) (-7)8 =-7 4)/(-8)8 =8 Задание 3. Вычислите значение выражения: 3/320 1) 23/5 2) 625-27 3) (2/4) 6 4) (2√3) 12 x²(44-2 2044.1-2x1 170x+なり 36+176 Задание 4. Решите уравнение: 3 1)√6x+16=x; 2) √x-1=-513)√2x-5=14x-7 4)√2x²+8x+16=44-2x Задание 5. 3 Среднее геометрическое трёх чисел а, б и с вычисляется по формуле д=Va*b*c. Вычислите среднее геометрическое чисел 2, 4, 27. 8 Задание 6. Найти область определения функции у=√32-5

Задание 1

График функции y = \(\sqrt[n]{x}\) имеет вид, как на рисунке 1.

Ответ: 1)

Задание 2

1. \(\sqrt[8]{5^8} = 5\) – неверно, так как корень четной степени из числа в этой же степени равен модулю числа. В данном случае, \(\sqrt[8]{5^8} = |5| = 5\).
2. \(\sqrt[8]{6^8} = 6\) – верно, по той же причине, что и в первом пункте.
3. \(\sqrt[8]{(-7)^8} = -7\) – неверно, так как корень четной степени не может быть отрицательным. Правильно: \(\sqrt[8]{(-7)^8} = |-7| = 7\).
4. \(\sqrt[8]{(-8)^8} = 8\) – верно, по той же причине, что и в третьем пункте.

Ответ: 2) и 4)

Задание 3

1. \[\sqrt[3]{\frac{320}{2 \sqrt[3]{5}}} = \sqrt[3]{\frac{320}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{5}}} = \sqrt[3]{160 \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{5}}} = \sqrt[3]{\frac{160}{1} \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{5}}} = \sqrt[3]{\frac{160}{\sqrt[3]{5}}} = \sqrt[3]{\frac{160 \sqrt[3]{5^2}}{\sqrt[3]{5} \sqrt[3]{5^2}}} = \sqrt[3]{\frac{160 \sqrt[3]{25}}{5}} = \sqrt[3]{32 \sqrt[3]{25}} = \sqrt[3]{2^5 \sqrt[3]{5^2}} = \sqrt[3]{2^3 \cdot 2^2 \cdot \sqrt[3]{5^2}} = 2 \sqrt[3]{4 \sqrt[3]{25}}}\]
2. \[\sqrt[4]{625} \cdot \sqrt[3]{-27} = \sqrt[4]{5^4} \cdot \sqrt[3]{(-3)^3} = 5 \cdot (-3) = -15\]
3. \[(2 \sqrt[3]{4})^3 = 2^3 \cdot (\sqrt[3]{4})^3 = 8 \cdot 4 = 32\]
4. \[\frac{6}{(2 \sqrt{3})^2} = \frac{6}{2^2 \cdot (\sqrt{3})^2} = \frac{6}{4 \cdot 3} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}\]

Задание 4

1. \[\sqrt{6x + 16} = x\]
   Показать решение

   Возводим обе части в квадрат:

   \[6x + 16 = x^2\]

   Переносим все в одну сторону:

   \[x^2 - 6x - 16 = 0\]

   Решаем квадратное уравнение:

   \[D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 36 + 64 = 100\] \[x_1 = \frac{6 + \sqrt{100}}{2} = \frac{6 + 10}{2} = 8\] \[x_2 = \frac{6 - \sqrt{100}}{2} = \frac{6 - 10}{2} = -2\]

   Проверяем корни:

   При x = 8:

   \[\sqrt{6 \cdot 8 + 16} = \sqrt{48 + 16} = \sqrt{64} = 8\]

   При x = -2:

   \[\sqrt{6 \cdot (-2) + 16} = \sqrt{-12 + 16} = \sqrt{4} = 2
   eq -2\]

   Следовательно, x = 8 является решением.

   Ответ: x = 8

2. \[\sqrt[3]{x - 1} = -5\]
   Показать решение

   Возводим обе части в куб:

   \[x - 1 = (-5)^3\] \[x - 1 = -125\] \[x = -125 + 1\] \[x = -124\]

   Ответ: x = -124

3. \[\sqrt{2x - 5} = \sqrt{4x - 7}\]
   Показать решение

   Возводим обе части в квадрат:

   \[2x - 5 = 4x - 7\] \[2x - 4x = -7 + 5\] \[-2x = -2\] \[x = 1\]

   Проверяем корень:

   \[\sqrt{2 \cdot 1 - 5} = \sqrt{2 - 5} = \sqrt{-3}\]

   Так как подкоренное выражение отрицательное, то корней нет.

   Ответ: Нет решений

4. \[\sqrt{2x^2 + 8x + 16} = 44 - 2x\]
   Показать решение

   Возводим обе части в квадрат:

   \[2x^2 + 8x + 16 = (44 - 2x)^2\] \[2x^2 + 8x + 16 = 1936 - 176x + 4x^2\] \[0 = 2x^2 - 184x + 1920\]

   Делим на 2:

   \[x^2 - 92x + 960 = 0\]

   Решаем квадратное уравнение:

   \[D = (-92)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 960 = 8464 - 3840 = 4624\] \[x_1 = \frac{92 + \sqrt{4624}}{2} = \frac{92 + 68}{2} = 80\] \[x_2 = \frac{92 - \sqrt{4624}}{2} = \frac{92 - 68}{2} = 12\]

   Проверяем корни:

   При x = 80:

   \[\sqrt{2 \cdot 80^2 + 8 \cdot 80 + 16} = \sqrt{12800 + 640 + 16} = \sqrt{13456} \approx 116
   eq 44 - 2 \cdot 80 = -116\]

   При x = 12:

   \[\sqrt{2 \cdot 12^2 + 8 \cdot 12 + 16} = \sqrt{288 + 96 + 16} = \sqrt{400} = 20 = 44 - 2 \cdot 12 = 20\]

   Следовательно, x = 12 является решением.

   Ответ: x = 12

Задание 5

Среднее геометрическое чисел 2, 4, 27:

\[g = \sqrt[3]{2 \cdot 4 \cdot 27} = \sqrt[3]{216} = 6\]

Ответ: 6

Задание 6

Область определения функции y = \(\sqrt[8]{3x - 5}\) определяется условием:

\[3x - 5 \geq 0\] \[3x \geq 5\] \[x \geq \frac{5}{3}\]

Ответ: x \(\geq \frac{5}{3}\)