Контрольная работа по теме «Векторы». Вариант 2 1. Начертите два неколлинеарных вектора т и п. Постройте векторы, равные: а) + 2п; б) 3п - т. 2. На стороне CD квадрата ABCD лежит точка Р так, что CP = PD, Q- точка пересечения диагоналей. Выразите векторы ВО, ВР, РА через векторы х = ВА иў = ВС. 3. В равнобедренной трапеции один из углов равен 60 боковая сторона равна вна 8 см, а меньшее основание 7 см. Найдите среднюю линию трапеции. 4. В равнобедренной трапеции боковая сторона равна 15 см, а её средняя линия 12 см. Найдите периметр трапеции. 5. В треугольнике MNK Оточка пересечения медиан, MN = x; MK = y, MO = k+ (x + 7). Найдите число к.

1. Начертите два неколлинеарных вектора m и n. Постройте векторы, равные:

а) $$\frac{1}{3}m + 2n$$

Построение вектора $$\frac{1}{3}m + 2n$$:

      2n
      <-------------------------------------------->
      |                                            |
      |      1/3 m                                 |
      |      <-------->                           |
      V      V                                            
      -------------------------------------------->
                           1/3 m + 2n

б) $$3n - m$$

Построение вектора $$3n - m$$:

               -m
      <----------------------
      |                      |
      |                      |
      |     3n               |
      |     <---------------------------->
      V     V
      --------------------------------------
                      3n - m

2. На стороне CD квадрата ABCD лежит точка P так, что CP = PD, Q - точка пересечения диагоналей. Выразите векторы BO, BP, PA через векторы x = BA и y = BC.

В квадрате ABCD, точка Q - точка пересечения диагоналей, P - середина CD.

Выразим векторы BO, BP, PA через векторы x и y:

1. Вектор BO:

Так как Q - точка пересечения диагоналей квадрата, то BO - половина BD. Вектор BD равен сумме векторов BA и BC, то есть x + y. Следовательно,

$$BO = \frac{1}{2}BD = \frac{1}{2}(x + y) = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}y$$
2. Вектор BP:

Вектор BP можно представить как сумму векторов BC и CP. Вектор CP равен половине вектора CD, который равен вектору BA (так как ABCD - квадрат). Следовательно,

$$BP = BC + CP = y + \frac{1}{2}BA = y + \frac{1}{2}x$$
3. Вектор PA:

Вектор PA можно представить как разность векторов BA и BP. Следовательно,

$$PA = BA - BP = x - (y + \frac{1}{2}x) = x - y - \frac{1}{2}x = \frac{1}{2}x - y$$

3. В равнобедренной трапеции один из углов равен 60°, боковая сторона равна 8 см, а меньшее основание 7 см. Найдите среднюю линию трапеции.

Пусть дана равнобедренная трапеция ABCD, где BC - меньшее основание, AD - большее основание. Угол при большем основании равен 60°, а боковая сторона AB = CD = 8 см, меньшее основание BC = 7 см.

Проведем высоты BE и CF к основанию AD. Тогда AE = FD. Рассмотрим треугольник ABE. Угол A = 60°, угол AEB = 90°, AB = 8 см. Тогда AE = AB * cos(60°) = 8 * (1/2) = 4 см.

Так как AE = FD, то FD = 4 см. Большее основание AD = BC + 2 * AE = 7 + 2 * 4 = 7 + 8 = 15 см.

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований: (BC + AD) / 2 = (7 + 15) / 2 = 22 / 2 = 11 см.

Ответ: 11 см.

4. В равнобедренной трапеции боковая сторона равна 15 см, а её средняя линия 12 см. Найдите периметр трапеции.

В равнобедренной трапеции боковая сторона равна 15 см, а средняя линия равна 12 см. Необходимо найти периметр трапеции.

Пусть a и b - основания трапеции, c - боковая сторона. Тогда средняя линия равна (a + b) / 2 = 12 см. Отсюда a + b = 24 см.

Периметр трапеции равен сумме всех сторон: P = a + b + 2c = 24 + 2 * 15 = 24 + 30 = 54 см.

Ответ: 54 см.

5. В треугольнике MNK O - точка пересечения медиан, MN = x; MK = y, MO = k * (x + y). Найдите число k.

Пусть в треугольнике MNK точка O - точка пересечения медиан, MN = x; MK = y. Выразим вектор MO через векторы x и y: MO = k * (x + y). Необходимо найти число k.

Известно, что точка пересечения медиан делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Пусть P - середина NK. Тогда MP - медиана, и MO = (2/3)MP.

Вектор MP можно выразить через векторы MN и MK: MP = (1/2)(MN + MK) = (1/2)(x + y).

Теперь выразим MO через MP:

$$MO = \frac{2}{3}MP = \frac{2}{3}(\frac{1}{2}(x + y)) = \frac{1}{3}(x + y)$$

Из уравнения MO = k * (x + y) следует, что k = 1/3.

Ответ: k = 1/3