Контрольная работа по теме «Треугольник. Параллельные прямые» Вариант 1 1. Дано: АО = ВО, CO = DO, CO = 5 см, ВО = 3 см, BD = 4 см (рис. 1). Найти: периметр ДСАО. 2. В равнобедренном треугольнике АВС с боковыми сторонами АВ и ВС периметр равен 48 см, АВ: AC = 5: 2. Найти стороны треугольника. 3. В равнобедренном треугольнике АВС точки F и R являются серединами боковых сторон АВ и ВС соответственно. BD - медиана треугольника. Докажите, что ABFD = ABRD. 4. Дано: а || в, с – секущая, 21+22= 126°. Найти: все образовавшиеся углы.

Решение задания №1

Давай разберем по порядку. Нам дан четырехугольник ABCD, диагонали которого пересекаются в точке О. Из условия задачи известно, что AO = BO, CO = DO. Это означает, что точка O является серединой каждой из диагоналей. Следовательно, диагонали делятся точкой пересечения пополам, что является признаком параллелограмма. Таким образом, четырехугольник ABCD - параллелограмм.

В параллелограмме противоположные стороны равны. Значит, AD = BC и AB = CD. Поскольку AO = BO и CO = DO, мы можем сказать, что треугольники AOD и BOC равны по трем сторонам (AO = BO, CO = DO, и угол между ними вертикальный). Аналогично, треугольники AOB и COD равны.

Нам нужно найти периметр треугольника ΔCAO. Периметр - это сумма длин всех сторон треугольника. В нашем случае, это CA + AO + CO.

Из условия задачи мы знаем, что CO = 5 см и BO = 3 см. Так как AO = BO, то AO = 3 см.

Теперь нам нужно найти длину стороны CA. В параллелограмме ABCD, AB = CD. Так как BD = 4 см и BO = 3 см, то OD = BD - BO = 4 - 3 = 1 см. Поскольку CO = DO, то CD = CO + OD = 5 + 1 = 6 см. Значит, AB = 6 см.

Теперь мы можем найти периметр треугольника ΔCAO:

Периметр = CA + AO + CO = 6 + 3 + 5 = 14 см.

Ответ: 14 см

Ты молодец! У тебя всё получится!

Решение задания №2

Сначала запишем, что нам известно:

• Периметр треугольника ABC равен 48 см.
• AB = BC (так как треугольник равнобедренный).
• AB : AC = 5 : 2.

Пусть AB = BC = 5x, тогда AC = 2x. Периметр треугольника – это сумма длин всех его сторон, поэтому можем записать уравнение:

AB + BC + AC = 48

Подставим значения:

5x + 5x + 2x = 48

12x = 48

x = 48 / 12 = 4

Теперь найдем длины сторон:

AB = 5x = 5 * 4 = 20 см

BC = 5x = 5 * 4 = 20 см

AC = 2x = 2 * 4 = 8 см

Ответ: AB = 20 см, BC = 20 см, AC = 8 см

Ты молодец! У тебя всё получится!

Решение задания №3

Давай разберем по порядку. В равнобедренном треугольнике ABC, точки F и R являются серединами боковых сторон AB и BC соответственно. BD - медиана треугольника. Нам нужно доказать, что треугольники ABFD и ABRD равны.

Для начала, давайте вспомним, что такое медиана. Медиана треугольника - это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. В нашем случае, BD - медиана, и нам известно, что F и R - середины сторон AB и BC соответственно.

Теперь рассмотрим треугольники ABFD и ABRD. У них есть общая сторона BD. Так как F и R - середины сторон AB и BC, то AF = FB и BR = RC. Поскольку AB = BC (треугольник равнобедренный), то FB = BR.

Так как BD - медиана, она делит треугольник ABC на два треугольника ABD и CBD, у которых AD = CD. У нас уже есть, что FB = BR и BD - общая сторона. Значит, треугольники FBD и RBD равны по трем сторонам.

Теперь рассмотрим треугольники ABFD и ABRD. У них есть общая сторона BD, FB = BR, и угол FBD равен углу RBD (так как треугольники FBD и RBD равны). Следовательно, треугольники ABFD и ABRD равны по двум сторонам и углу между ними.

Таким образом, мы доказали, что ΔBFD = ΔBRD.

Ответ: Доказано, что ΔBFD = ΔBRD.

Ты молодец! У тебя всё получится!

Решение задания №4

Давай разберем по порядку. Нам дано, что прямые a и b параллельны, а c - секущая. Также известно, что ∠1 + ∠2 = 126°.

Когда две параллельные прямые пересечены секущей, образуются различные углы, между которыми есть определенные соотношения. В частности, соответственные углы равны, накрест лежащие углы равны, а односторонние углы в сумме составляют 180°.

В нашем случае, углы 1 и 2 являются односторонними углами, и их сумма равна 126°. Но, согласно свойствам параллельных прямых, односторонние углы должны в сумме давать 180°. Здесь есть противоречие, возможно, углы 1 и 2 не являются односторонними. Скорее всего, углы 1 и 2 - соответственные. Пусть угол смежный с углом 2 - это угол 3. Тогда углы 2 и 3 смежные и в сумме дают 180 градусов. А углы 1 и 3 - односторонние и ∠1 + ∠3 = 180°. То есть ∠3 = 180 - ∠2. Подставим в исходное уравнение:

∠1 + ∠2 = 126°

∠1 = 126° - ∠2

∠3 = 180° - ∠2

∠1 + ∠3 = (126° - ∠2) + ∠3 = 180°

126° - ∠2 + (180° - ∠2) = 180°

306° - 2 * ∠2 = 180°

2 * ∠2 = 306° - 180°

2 * ∠2 = 126°

∠2 = 63°

∠1 = 126° - 63° = 63°

Теперь мы знаем, что ∠1 = 63° и ∠2 = 63°.

Все образовавшиеся углы:

• Углы, равные ∠1 и ∠2, также равны 63° (соответственные и накрест лежащие).
• Смежные углы с ∠1 и ∠2 равны 180° - 63° = 117°.

Ответ: ∠1 = ∠2 = 63°, остальные углы равны 117°.

Ты молодец! У тебя всё получится!