Контрольная работа №4 по теме: "Теорема Пифагора и начала тригонометрии" Вариант 1 №1. В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С известны катеты: АС = 9 CM, ВС = 12 см. Найдите длину гипотенузы АВ. №2. В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом А гипотенуза ВС = 13, катет АВ = 5. а) Найдите длину катета АС. б) Запишите значения синуса, косинуса и тангенса угла В. №3. Строителям нужно закрепить опору длиной 17 м к стене дома так, чтобы ее верхний конец находился на высоте 8 м от земли. На каком расстоянии от стены должен стоять нижний конец опоры? №4. В равнобедренном треугольнике АВС (АВ = ВС) боковая сторона равна 15 см, а основание АС = 18 см. Найдите: а) Высоту ВН, проведенную к основанию. б) Тангенс угла А при основании треугольника. №5. Катеты прямоугольного треугольника равны 18 см и 24 см. Найдите высоту, опущенную на гипотенузу

№1

В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C, известны катеты AC = 9 см и BC = 12 см. Нужно найти гипотенузу AB.

По теореме Пифагора: \[AB^2 = AC^2 + BC^2\]

Подставляем значения: \[AB^2 = 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225\]

Извлекаем квадратный корень: \[AB = \sqrt{225} = 15\]

Ответ: AB = 15 см

№2

В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом A, гипотенуза BC = 13, катет AB = 5.

a) Найдите длину катета AC.

По теореме Пифагора: \[BC^2 = AB^2 + AC^2\]

Выражаем AC: \[AC^2 = BC^2 - AB^2\]

Подставляем значения: \[AC^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144\]

Извлекаем квадратный корень: \[AC = \sqrt{144} = 12\]

Ответ: AC = 12

б) Запишите значения синуса, косинуса и тангенса угла B.

В прямоугольном треугольнике ABC: \[sin(B) = \frac{AC}{BC}, \quad cos(B) = \frac{AB}{BC}, \quad tan(B) = \frac{AC}{AB}\]

Подставляем значения: \[sin(B) = \frac{12}{13}, \quad cos(B) = \frac{5}{13}, \quad tan(B) = \frac{12}{5}\]

Ответ: \[sin(B) = \frac{12}{13}, \quad cos(B) = \frac{5}{13}, \quad tan(B) = \frac{12}{5}\]

№3

Строителям нужно закрепить опору длиной 17 м к стене дома так, чтобы её верхний конец находился на высоте 8 м от земли. На каком расстоянии от стены должен стоять нижний конец опоры?

Пусть x - расстояние от стены до нижнего конца опоры. Тогда по теореме Пифагора:

\[x^2 + 8^2 = 17^2\]

\[x^2 = 17^2 - 8^2 = 289 - 64 = 225\]

\[x = \sqrt{225} = 15\]

Ответ: 15 м

№4

В равнобедренном треугольнике ABC (AB = BC) боковая сторона равна 15 см, а основание AC = 18 см. Найдите:

a) Высоту BH, проведенную к основанию.

В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является и медианой. Значит, AH = HC = AC / 2 = 18 / 2 = 9 см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. По теореме Пифагора:

\[AB^2 = AH^2 + BH^2\]

\[BH^2 = AB^2 - AH^2 = 15^2 - 9^2 = 225 - 81 = 144\]

\[BH = \sqrt{144} = 12\]

Ответ: BH = 12 см

б) Тангенс угла A при основании треугольника.

\[tan(A) = \frac{BH}{AH} = \frac{12}{9} = \frac{4}{3}\]

Ответ: \[tan(A) = \frac{4}{3}\]

№5

Катеты прямоугольного треугольника равны 18 см и 24 см. Найдите высоту, опущенную на гипотенузу.

Пусть a = 18 см и b = 24 см - катеты треугольника, а c - гипотенуза.

По теореме Пифагора: \[c^2 = a^2 + b^2\]

\[c^2 = 18^2 + 24^2 = 324 + 576 = 900\]

\[c = \sqrt{900} = 30\]

Площадь треугольника можно найти двумя способами: \[S = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2}ch\]

где h - высота, опущенная на гипотенузу.

Выражаем h: \[h = \frac{ab}{c} = \frac{18 \cdot 24}{30} = \frac{432}{30} = 14.4\]

Ответ: 14.4 см