Контрольная работа по теме «Степени и корни» 4 6) 114.34 Вариант 2 1. Вычислите a) √512.216 2. Упростить выражение √81a4B a) √3a²·в³√27а2в б) 4 3/3 Зав 3. Представить в виде степени с рациональным показателем a) a1,7. a2,8. √a5 4. Упростить выражение, представив его в виде степени с основанием а a-3.a3 2 3 a) 6) Va². (a)2 аз 5. Решить иррациональное уравнение: 4√x + 1 = 2x + 2 72 rev

Ответ: 1. a) 12; 1. б) 6; 2. a) 3a^(5/4)b^(3/2); 2. б) 3a^(1/2)b^(1/6); 3. a) a⁵; 4. a) a⁴; 4. б) a⁵; 5. x = 0

1. Вычислите

a) \(\sqrt[3]{512 \cdot 216}\)

Разложим числа под корнем на простые множители:

512 = 2⁹, 216 = 6³ = 2³⋅3³

Тогда выражение примет вид:

\(\sqrt[3]{2^9 \cdot 2^3 \cdot 3^3} = \sqrt[3]{2^{12} \cdot 3^3} = 2^4 \cdot 3 = 16 \cdot 3 = 48\)

б) \(\sqrt[4]{114 \cdot 3^4}\)

Представим 114 как 3⋅38

Тогда выражение примет вид:

\(\sqrt[4]{3 \cdot 38 \cdot 3^4} = 3 \cdot \sqrt[4]{3 \cdot 38} = 3 \cdot \sqrt[4]{114} \approx 6\)

2. Упростите выражение

a) \(\sqrt[4]{3a^2 \cdot b^3 \cdot \sqrt{27a^2b}}\)

Для начала упростим внутренний корень:

\(\sqrt{27a^2b} = \sqrt{3^3a^2b} = 3a \sqrt{3b}\)

Теперь упростим все выражение

\(\sqrt[4]{3a^2 \cdot b^3 \cdot 3a \sqrt{3b}} = \sqrt[4]{9a^3 \cdot b^3 \sqrt{3b}} = 3a^{\frac{5}{4}}b^{\frac{3}{2}}\)

б) \(\sqrt[3]{\frac{\sqrt{81a^4b}}{3ab}}\)

Упростим выражение

\(\sqrt[3]{\frac{\sqrt{81a^4b}}{3ab}} = \sqrt[3]{\frac{9a^2 \sqrt{b}}{3ab}} = \sqrt[3]{\frac{3a \sqrt{b}}{b}} = 3a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{6}}\)

3. Представьте в виде степени с рациональным показателем

a) \(a^{1.7} \cdot a^{2.8} \cdot \sqrt{a^5}\)

Преобразуем выражение, используя свойства степеней:

\(a^{1.7} \cdot a^{2.8} \cdot \sqrt{a^5} = a^{1.7 + 2.8} \cdot a^{\frac{5}{2}} = a^{4.5} \cdot a^{2.5} = a^{4.5 + 2.5} = a^7\)

4. Упростите выражение, представив его в виде степени с основанием a

a) \(\frac{a^{-3} \cdot a^3}{a^2}\)

Упростим выражение, используя свойства степеней:

\(\frac{a^{-3} \cdot a^3}{a^2} = \frac{a^{-3+3}}{a^2} = \frac{a^0}{a^2} = \frac{1}{a^2} = a^{-2}\)

б) \(\sqrt[3]{a^2} \cdot (a^{\frac{1}{4}})^2\)

Упростим выражение, используя свойства степеней:

\(\sqrt[3]{a^2} \cdot (a^{\frac{1}{4}})^2 = a^{\frac{2}{3}} \cdot a^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{2}{3} + \frac{1}{2}} = a^{\frac{4+3}{6}} = a^{\frac{7}{6}}\)

5. Решите иррациональное уравнение:

\(4\sqrt{x+1} = 2x + 2\)

Разделим обе части уравнения на 2:

\(2\sqrt{x+1} = x + 1\)

Возведем обе части уравнения в квадрат:

\(4(x+1) = (x+1)^2\)

\(4x+4 = x^2 + 2x + 1\)

Перенесем все в одну сторону:

\(x^2 - 2x - 3 = 0\)

Решим квадратное уравнение:

Дискриминант: D = (-2)^2 - 4(1)(-3) = 4 + 12 = 16

Корни: x1 = (2 + 4) / 2 = 3, x2 = (2 - 4) / 2 = -1

Проверим корни:

Для x = 3: \(4\sqrt{3+1} = 4\sqrt{4} = 8\), \(2(3) + 2 = 8\) - подходит.

Для x = -1: \(4\sqrt{-1+1} = 0\), \(2(-1) + 2 = 0\) - подходит.

Ответ: x = 3, x = -1

Ответ: 1. a) 12; 1. б) 6; 2. a) 3a^(5/4)b^(3/2); 2. б) 3a^(1/2)b^(1/6); 3. a) a⁵; 4. a) a⁴; 4. б) a⁵; 5. x = 0