Контрольная работа по теме «Решение неравенств» 1. Решите неравенство: a) 6x ≥-18; 2. Решить системы неравенств: > 2; 3x + 12 > 4x - 1 17-2x ≤10-3x; 3. Решить неравенство: a)-4<-4x≤24; 4. При каких значениях переменной имеет смысл выражение: A)√5x + 2+ √7-х. Б)√3х-4

1. Решите неравенство:

a) 6x ≥ -18

Разделим обе части неравенства на 6:

x ≥ -18/6

x ≥ -3

б) 5 - 3x ≥ 11

Вычтем 5 из обеих частей неравенства:

-3x ≥ 11 - 5

-3x ≥ 6

Разделим обе части неравенства на -3 (знак неравенства меняется):

x ≤ 6/(-3)

x ≤ -2

в) 1,6(x + 5) + 2,4 > 2x + 9

Раскроем скобки:

1,6x + 8 + 2,4 > 2x + 9

1,6x + 10,4 > 2x + 9

Перенесем известные в одну сторону, неизвестные в другую:

10,4 - 9 > 2x - 1,6x

1,4 > 0,4x

Разделим обе части неравенства на 0,4:

x < 1,4/0,4

x < 3,5

2. Решить системы неравенств:

a)

\[\begin{cases} x \leq 3 \\ x > 2 \end{cases}\]

Решением системы является пересечение решений обоих неравенств:

2 < x ≤ 3

б)

\[\begin{cases} 3x + 12 > 4x - 1 \\ 7 - 2x \leq 10 - 3x \end{cases}\]

Решим первое неравенство:

3x + 12 > 4x - 1

12 + 1 > 4x - 3x

13 > x

x < 13

Решим второе неравенство:

7 - 2x ≤ 10 - 3x

-2x + 3x ≤ 10 - 7

x ≤ 3

Решением системы является пересечение решений обоих неравенств:

x < 13 и x ≤ 3, следовательно, x ≤ 3

в)

\[\begin{cases} \frac{2x - 9}{x} > 6x + 1 \\ x < 2 \end{cases}\]

Сначала решим первое неравенство:

\(\frac{2x - 9}{x} > 6x + 1\)

Для решения этого неравенства нужно рассмотреть два случая: x > 0 и x < 0.

Случай 1: x > 0

Умножим обе части неравенства на x:

2x - 9 > x(6x + 1)

2x - 9 > 6x^2 + x

6x^2 - x + 9 < 0

Так как дискриминант отрицательный, это неравенство не имеет решений.

Случай 2: x < 0

Умножим обе части неравенства на x (знак неравенства меняется):

2x - 9 < x(6x + 1)

2x - 9 < 6x^2 + x

6x^2 - x + 9 > 0

Это неравенство выполняется для всех x, так как дискриминант отрицательный, и коэффициент при x^2 положительный.

Тогда первое неравенство системы выполняется при x < 0.

Решением системы является пересечение решений обоих неравенств:

x < 0 и x < 2, следовательно, x < 0

3. Решить неравенство:

a) -4 < -4x ≤ 24

Разделим обе части неравенства на -4 (знаки неравенства меняются):

1 > x ≥ -6

-6 ≤ x < 1

б) -12 < 2x < 14

Разделим обе части неравенства на 2:

-6 < x < 7

4. При каких значениях переменной имеет смысл выражение:

A) \(\sqrt{5x + 2} + \sqrt{7 - x}\)

Для того чтобы выражение имело смысл, оба подкоренных выражения должны быть неотрицательными:

\[\begin{cases} 5x + 2 \geq 0 \\ 7 - x \geq 0 \end{cases}\]

Решим первое неравенство:

5x + 2 ≥ 0

5x ≥ -2

x ≥ -2/5

Решим второе неравенство:

7 - x ≥ 0

-x ≥ -7

x ≤ 7

Решением системы является пересечение решений обоих неравенств:

-2/5 ≤ x ≤ 7

Б) \(\sqrt{3x - 4}\)

Для того чтобы выражение имело смысл, подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

3x - 4 ≥ 0

3x ≥ 4

x ≥ 4/3

Ответ: a) 2 < x ≤ 3; б) x ≤ 3; в) x < 0

Ответ: а) -6 ≤ x < 1; б) -6 < x < 7

Ответ: А) -2/5 ≤ x ≤ 7; Б) x ≥ 4/3