Контрольная работа по теме «Прямые и плоскости в пространстве» 1 вариант 1) Из вершины D треугольника DCK проведен перпендикуляр DN к плоскости этого треугольника. Вычислите расстояние от точки № до прямой КС, если KD=DC=10, KC=16, DN=3см. 2) Из вершины В квадрата ABCD со стороной 8см проведен перпендикуляр ВЕ к его плоскости длиной 4см. Вычислите расстояние точки Е до диагонали AC. 3) Отрезок ЕН расположен по одну сторону от плоскости а. Расстояния точек Е и Н до плоскости а равны 6 и 8см. Найдите расстояние от М (середины отрезка ЕН) до плоскости а. 4) В кубе BCDEB,C,D,E₁ укажите прямые: а) параллельные ребру ВС; б) пересекающие ребро ВС; в)скрещивающиеся с ребром ВС. 5) Что можно сказать о взаимном расположении двух прямых, если: а) прямые не имеют общей точки; б)прямые имеют одну общую точку; в) прямые имеют две общие точки. 2 вариант 1) Из центра О квадрата со стороной 6см проведен к его плоскости перпендикуляр ОЕ длиной 8см. Вычислите расстояние от точки Е до стороны квадрата. 2) Из вершины С правильного треугольника АВС со стороной 10см проведен к его плоскости перпендикуляр СМ длиной 6см. Вычислите расстояние от точки М до стороны АВ. 3) Отрезок АВ расположен вне плоскости а так, что расстояние от точки А до плоскости а равно 6см, а расстояние от середины М отрезка АВ до плоскости а равно 8см. Найдите расстояние от точки В до плоскости а. 4) В кубе ABCDA1B1C1D1 укажите прямые: а)параллельные ребру ВС; б) пересекающие реброВС; в)скрещивающиеся с ребром ВС. 5) Что можно сказать о взаимном расположении прямой и плоскости, если: а) прямая и плоскость имеют только одну общую точку; б)имеют две общие точки; в)не имеют общих точек.

1 вариант

1) Из вершины D треугольника DCK проведен перпендикуляр DN к плоскости этого треугольника. Вычислите расстояние от точки N до прямой KC, если KD=DC=10, KC=16, DN=3см.

К сожалению, для решения этой задачи недостаточно информации. Нужно знать угол между прямой КС и плоскостью DCK, либо другие соотношения углов и расстояний.

2) Из вершины B квадрата ABCD со стороной 8см проведен перпендикуляр BE к его плоскости длиной 4см. Вычислите расстояние точки E до диагонали AC.

Пусть O - точка пересечения диагоналей квадрата. Тогда BO = AO = CO = DO = 8\(\sqrt{2}\)/2 = 4\(\sqrt{2}\). EO является перпендикуляром к плоскости квадрата, значит, треугольник EOB - прямоугольный. Расстояние от E до диагонали AC - это длина отрезка, соединяющего E с точкой O. По теореме Пифагора, EO^2 + BO^2 = EB^2, где EB = \(\sqrt{EO^2 + BO^2}\). EB = \(\sqrt{4^2 + (4\sqrt{2})^2}\) = \(\sqrt{16 + 32}\) = \(\sqrt{48}\) = 4\(\sqrt{3}\).

3) Отрезок EH расположен по одну сторону от плоскости α. Расстояния точек E и H до плоскости α равны 6 и 8см. Найдите расстояние от M (середины отрезка EH) до плоскости α.

Так как M - середина отрезка EH, то расстояние от M до плоскости α будет средним арифметическим расстояний от E и H до плоскости α. Расстояние = (6 + 8) / 2 = 7 см.

4) В кубе BCDEB₁C₁D₁E₁ укажите прямые: а) параллельные ребру BC; б) пересекающие ребро BC; в) скрещивающиеся с ребром BC.

• а) Параллельные ребру BC: DE, B₁C₁, D₁E₁
• б) Пересекающие ребро BC: BD, CE, BB₁, CC₁
• в) Скрещивающиеся с ребром BC: B₁D₁, C₁E₁, DE₁

5) Что можно сказать о взаимном расположении двух прямых, если: а) прямые не имеют общей точки; б) прямые имеют одну общую точку; в) прямые имеют две общие точки.

• а) Прямые не имеют общей точки: Прямые параллельны или скрещиваются.
• б) Прямые имеют одну общую точку: Прямые пересекаются.
• в) Прямые имеют две общие точки: Прямые совпадают.

2 вариант

1) Из центра O квадрата со стороной 6см проведен к его плоскости перпендикуляр OE длиной 8см. Вычислите расстояние от точки E до стороны квадрата.

Пусть сторона квадрата будет AB. Тогда OE - перпендикуляр к плоскости квадрата. Расстояние от E до AB - это длина перпендикуляра, опущенного из E на AB. Пусть этот перпендикуляр будет EF. Тогда треугольник OEF - прямоугольный, где OF = 3см (половина стороны квадрата). По теореме Пифагора, EF = \(\sqrt{OE^2 + OF^2}\) = \(\sqrt{8^2 + 3^2}\) = \(\sqrt{64 + 9}\) = \(\sqrt{73}\) см.

2) Из вершины C правильного треугольника ABC со стороной 10см проведен к его плоскости перпендикуляр CM длиной 6см. Вычислите расстояние от точки M до стороны AB.

Пусть D - середина стороны AB. Тогда CD - высота и медиана треугольника ABC. CD = (\(\sqrt{3}\)/2) * 10 = 5\(\sqrt{3}\) см. MD - расстояние от точки M до стороны AB. Треугольник CMD - прямоугольный. MD = \(\sqrt{CM^2 + CD^2}\) = \(\sqrt{6^2 + (5\sqrt{3})^2}\) = \(\sqrt{36 + 75}\) = \(\sqrt{111}\) см.

3) Отрезок AB расположен вне плоскости α так, что расстояние от точки A до плоскости α равно 6см, а расстояние от середины M отрезка AB до плоскости α равно 8см. Найдите расстояние от точки B до плоскости α.

Пусть расстояние от точки B до плоскости α равно x. Тогда (6 + x) / 2 = 8 6 + x = 16 x = 10 см.

4) В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ укажите прямые: а) параллельные ребру BC; б) пересекающие ребро BC; в) скрещивающиеся с ребром BC.

• а) Параллельные ребру BC: AD, A₁D₁, B₁C₁
• б) Пересекающие ребро BC: AB, CD, BB₁, CC₁
• в) Скрещивающиеся с ребром BC: A₁B₁, C₁D₁, AD₁

5) Что можно сказать о взаимном расположении прямой и плоскости, если: а) прямая и плоскость имеют только одну общую точку; б) имеют две общие точки; в) не имеют общих точек.

• а) Прямая и плоскость имеют только одну общую точку: Прямая пересекает плоскость.
• б) Имеют две общие точки: Прямая лежит в плоскости.
• в) Не имеют общих точек: Прямая параллельна плоскости.