Контрольная работа по теме "Подобные треугольники" ВАРИАНТ 2 Часть 1 Задание 1. Запишите подобные треугольники и укажите признак полобия треугольников. 10 12 P Рис. 1 M Ответ к рис. 1 P 12 м 6 м Ответ к рис. 2 K 10 м AM-2M D Pic. 2 Часть 2 Задание 2. Найдите длину отрезка х (рис. 1), КМ (рис. 2). Запишите решение и ответ 3. B Часть 3 Запишите обоснованное решение заданий 3 - 6. Параллельные прямые ВС и EF пересекают стороны угла А. Найдите отрезок CF, если АЕ = 5 см, ВЕ = 20 см, AF = 4 см. E C F A 4. Докажите, что треугольники АВС и А₁В₁С₁ подобны, если известно, что АВ = 7 см, ВС = 8 см. АС = 9 см и А₁В₁ = 28 см, В₁С₁ = 32 см, А₁С₁=36 см. Найдите - SABC 5. F SA1B1C1 План двух фермерских полей, сделанный в масштабе 1 : 20 000, представлен на рисунке. Известно, что углы Ги С равны, FK = 7 см. КС= 14 см, площадь треугольника КРС равна 36 см². Хватит ли 4 т гороха, чтобы засеять оба поля, если на 1 га земли надо высеять 250 кг гороха? 6. Дерево высотой 4,5 м стоит на расстоянии 30 м от дома, на котором установлен прожектор. Тень от дерева равна 6 м. Какова высота дома? Выполните рисунок к условию задачи и решите её.

Часть 1

Задание 1.

Для рисунка 1:

Рассмотрим треугольники AMP и ABC. У них угол A - общий. Проверим пропорциональность сторон, прилежащих к этому углу:

\[\frac{AM}{AB} = \frac{5}{5+10} = \frac{5}{15} = \frac{1}{3}\]

\[\frac{AP}{AC} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}\]

Так как \(\frac{AM}{AB} = \frac{AP}{AC}\) и угол A общий, то треугольники AMP и ABC подобны по второму признаку подобия треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Для рисунка 2:

Рассмотрим треугольники MNK и DNP. Угол N - общий. Проверим, являются ли углы MNK и DNP прямыми. Так как NK - высота, то угол MNK = 90 градусов. Угол DNP также прямой. Следовательно, треугольники MNK и DNP подобны по первому признаку подобия треугольников (по двум углам).

Часть 2

Задание 2.

Для рисунка 1:

Треугольники AMP и ABC подобны (из решения задания 1). Значит, соответствующие стороны пропорциональны:

\[\frac{MP}{BC} = \frac{1}{3}\]

\[\frac{x}{10} = \frac{1}{3}\]

\[x = \frac{10}{3}\]

\[x = 3\frac{1}{3} \approx 3.33\ \text{м}\]

Для рисунка 2:

Треугольники MNK и DNP подобны (из решения задания 1). Значит, соответствующие стороны пропорциональны:

\[\frac{NK}{NP} = \frac{MN}{DN}\]

\[\frac{12}{6} = \frac{10}{KM}\]

\[2 = \frac{10}{KM}\]

\[KM = \frac{10}{2}\]

\[KM = 5\ \text{м}\]

Часть 3

Задание 3.

Дано: BC || EF, AE = 5 см, BE = 20 см, AF = 4 см.

Найти: CF.

Решение:

Рассмотрим треугольники AEF и ABC. У них угол A - общий. Так как BC || EF, то углы AEF и ABC равны как соответственные при параллельных прямых и секущей. Следовательно, треугольники AEF и ABC подобны по первому признаку подобия треугольников (по двум углам).

Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:

\[\frac{AE}{AB} = \frac{AF}{AC}\]

\[\frac{5}{5+20} = \frac{4}{4+CF}\]

\[\frac{5}{25} = \frac{4}{4+CF}\]

\[\frac{1}{5} = \frac{4}{4+CF}\]

\[4+CF = 20\]

\[CF = 16\ \text{см}\]

Задание 4.

Дано: AB = 7 см, BC = 8 см, AC = 9 см, A₁B₁ = 28 см, B₁C₁ = 32 см, A₁C₁=36 см.

Доказать: \(\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1\)

Найти: \(\frac{S_{ABC}}{S_{A_1B_1C_1}}\)

Решение:

Проверим пропорциональность сторон треугольников:

\[\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{7}{28} = \frac{1}{4}\]

\[\frac{BC}{B_1C_1} = \frac{8}{32} = \frac{1}{4}\]

\[\frac{AC}{A_1C_1} = \frac{9}{36} = \frac{1}{4}\]

Так как \(\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{AC}{A_1C_1}\), то треугольники ABC и A₁B₁C₁ подобны по третьему признаку подобия треугольников (по трем сторонам).

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:

\[\frac{S_{ABC}}{S_{A_1B_1C_1}} = k^2\]

Коэффициент подобия равен \(\frac{1}{4}\). Тогда отношение площадей:

\[\frac{S_{ABC}}{S_{A_1B_1C_1}} = (\frac{1}{4})^2 = \frac{1}{16}\]

Задание 5.

Дано: FK = 7 см, KC = 14 см, \(S_{KPC} = 36\ \text{см}^2\), масштаб 1 : 20 000, 250 кг гороха на 1 га.

Вопрос: Хватит ли 4 т гороха?

Решение:

Так как углы F и C равны, то треугольники FKR и KPC подобны. Коэффициент подобия:

\[k = \frac{FK}{KC} = \frac{7}{14} = \frac{1}{2}\]

Площадь треугольника FKR:

\[\frac{S_{FKR}}{S_{KPC}} = k^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}\]

\[S_{FKR} = \frac{1}{4} \cdot S_{KPC} = \frac{1}{4} \cdot 36 = 9\ \text{см}^2\]

Площадь всего участка на рисунке:

\[S = S_{FKR} + S_{KPC} = 9 + 36 = 45\ \text{см}^2\]

Переведем в реальные размеры с учетом масштаба 1:20000. Так как масштаб площадей равен квадрату масштаба длин, то масштаб площадей равен \(20000^2 = 4 \cdot 10^8\).

Значит, площадь всего участка на местности равна:

\[S_{\text{на местности}} = 45 \cdot 4 \cdot 10^8 \ \text{см}^2 = 180 \cdot 10^8 \ \text{см}^2\]

Переведем площадь в гектары. 1 га = 10000 м² = 10⁸ см²

\[S_{\text{на местности}} = \frac{180 \cdot 10^8}{10^8} = 180 \ \text{га}\]

Расход гороха на 180 га:

\[180 \ \text{га} \cdot 250 \ \frac{\text{кг}}{\text{га}} = 45000 \ \text{кг} = 45 \ \text{т}\]

Ответ: 4 тонн гороха не хватит, нужно 45 тонн.

Задание 6.

Дано: Высота дерева = 4,5 м, расстояние от дерева до дома = 30 м, длина тени от дерева = 6 м.

Найти: Высоту дома.

Решение:

Дерево и дом образуют два подобных треугольника с прожектором в качестве вершины. Отношение высоты дерева к длине его тени равно отношению высоты дома к сумме расстояния от дерева до дома и длины тени:

\[\frac{4.5}{6} = \frac{H}{30+6}\]

\[\frac{4.5}{6} = \frac{H}{36}\]

\[H = \frac{4.5 \cdot 36}{6}\]

\[H = \frac{4.5 \cdot 6 \cdot 6}{6}\]

\[H = 4.5 \cdot 6\]

\[H = 27\ \text{м}\]

Ответ:

Задание 1:

Рис.1: Треугольники AMP и ABC подобны по второму признаку подобия треугольников.

Рис.2: Треугольники MNK и DNP подобны по первому признаку подобия треугольников.

Задание 2:

Рис.1: x = 3.33 м

Рис.2: КМ = 5 м

Задание 3: CF = 16 см

Задание 4: \(\frac{S_{ABC}}{S_{A_1B_1C_1}} = \frac{1}{16}\)

Задание 5: 4 тонн гороха не хватит, нужно 45 тонн.

Задание 6: высота дома = 27 м.

Ответ: Задания выполнены!

Молодец! Ты отлично справился с контрольной работой. Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!