Контрольная работа по теме «Подобные треугольники» Вариант 2 1. Дано РЕ|| NK, МР-8см, МN=12см, МЕ-6см (рис). Найти а) МК; 6) PE:NK, B) SMPE:SMNK 2. В треугольнике АВС АВ=3см, ВС=5см, АС=2см, а в треугольнике MNK MN=9см, NK-6см, МК-15см. Найти углы треугольника MNK, если LA=70°, L C=40° N P M E K 3. Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О, так что LAOC=LBDO, AO:OB=2:3. Найдите периметр треугольника АСО, если периметр треугольника BOD равен 21см. 4. В выпуклом четырехугольнике ABCD AB=6см, СВ=4см, CD=24см, AD=2см, BD=12см. Докажите, что АВСD-трапеция.

1. Дано: $$PE \parallel NK$$, $$MP = 8 \text{ см}$$, $$MN = 12 \text{ см}$$, $$ME = 6 \text{ см}$$.

Найти: a) $$MK$$; б) $$\frac{PE}{NK}$$; в) $$S_{MPE} : S_{MNK}$$.

Решение:

a) Рассмотрим $$\triangle MPE$$ и $$\triangle MNK$$.

$$\angle M$$- общий, $$\angle MEP = \angle MKN$$ как соответственные углы при $$PE \parallel NK$$ и секущей $$ME$$. Следовательно, $$\triangle MPE \sim \triangle MNK$$ по двум углам.

Из подобия следует пропорциональность сторон:$$\frac{ME}{MK} = \frac{MP}{MN}$$.

Выразим $$MK$$: $$MK = \frac{ME \cdot MN}{MP} = \frac{6 \cdot 12}{8} = 9 \text{ см}$$.

б) По теореме о пропорциональных отрезках: $$\frac{PE}{NK} = \frac{ME}{MK} = \frac{MP}{MN} = \frac{6}{9} = \frac{12-8}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$$.

в) Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия: $$\frac{S_{MPE}}{S_{MNK}} = \left(\frac{PE}{NK}\right)^2 = \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9}$$.

Ответ: a) $$MK = 9 \text{ см}$$; б) $$\frac{PE}{NK} = \frac{1}{3}$$; в) $$S_{MPE} : S_{MNK} = 1:9$$.

2. Дано: $$\triangle ABC$$ и $$\triangle MNK$$, $$AB = 3 \text{ см}$$, $$BC = 5 \text{ см}$$, $$AC = 2 \text{ см}$$, $$MN = 9 \text{ см}$$, $$NK = 6 \text{ см}$$, $$MK = 15 \text{ см}$$, $$\angle A = 70^\circ$$, $$\angle C = 40^\circ$$.

Найти: углы треугольника $$MNK$$.

Решение:

Найдем углы треугольника $$ABC$$: $$\angle A = 70^\circ$$, $$\angle C = 40^\circ$$, тогда $$\angle B = 180^\circ - (70^\circ + 40^\circ) = 70^\circ$$.

Найдем отношение сторон: $$\frac{AB}{MN} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$$, $$\frac{BC}{NK} = \frac{5}{15} = \frac{1}{3}$$, $$\frac{AC}{MK} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$.

Стороны пропорциональны, значит $$\triangle ABC \sim \triangle MNK$$ по трем сторонам. Значит, углы $$MNK$$ соответственно равны углам $$ABC$$: $$\angle M = \angle A = 70^\circ$$, $$\angle N = \angle B = 70^\circ$$, $$\angle K = \angle C = 40^\circ$$.

Ответ: $$\angle M = 70^\circ$$, $$\angle N = 70^\circ$$, $$\angle K = 40^\circ$$.

3. Дано: отрезки $$AB$$ и $$CD$$ пересекаются в точке $$O$$, $$\angle AOC = \angle BDO$$, $$\frac{AO}{OB} = \frac{2}{3}$$, $$P_{BOD} = 21 \text{ см}$$.

Найти: $$P_{ACO}$$.

Решение:

$$\angle AOC = \angle BDO$$ (по условию), $$\angle AOC = \angle BOD$$ как вертикальные, следовательно, $$\angle BDO = \angle AOC$$

$$\triangle AOC \sim \triangle BOD$$ по двум углам.

Отношение сторон: $$\frac{AO}{BO} = \frac{2}{3}$$, следовательно, коэффициент подобия $$k = \frac{2}{3}$$.

$$\frac{P_{ACO}}{P_{BOD}} = k = \frac{2}{3}$$.

Тогда $$P_{ACO} = \frac{2}{3} P_{BOD} = \frac{2}{3} \cdot 21 = 14 \text{ см}$$.

Ответ: $$P_{ACO} = 14 \text{ см}$$.

4. Дано: выпуклый четырехугольник $$ABCD$$, $$AB = 6 \text{ см}$$, $$CB = 4 \text{ см}$$, $$CD = 24 \text{ см}$$, $$AD = 2 \text{ см}$$, $$BD = 12 \text{ см}$$.

Доказать, что $$ABCD$$ - трапеция.

Решение:

Рассмотрим треугольники $$ABD$$ и $$BDC$$.

$$\frac{AD}{DB} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$$, $$\frac{AB}{DC} = \frac{6}{24} = \frac{1}{4}$$, $$\frac{BD}{BC} = \frac{12}{4} = 3$$.

Рассмотрим треугольники $$ABD$$ и $$BDC$$.

$$\frac{AD}{CD} = \frac{2}{24} = \frac{1}{12}$$, $$\frac{AB}{BC} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$$, $$\frac{BD}{BD} = 1$$.

Проверим пропорциональность сторон:

$$\frac{AD}{CD}=\frac{AB}{CB} = \frac{BD}{BD}$$. Подставим $$\frac{2}{24}=\frac{6}{4} = \frac{12}{12}$$, упростим $$\\\frac{1}{12}=\frac{3}{2} = 1$$. Это неверно.

Если $$\frac{AB}{CD} = \frac{AD}{BC}=\frac{BD}{BD}$$, то $$\frac{6}{24} = \frac{2}{4} = \frac{12}{12}$$, упростим $$\frac{1}{4} = \frac{1}{2} = 1$$. Это неверно.

Если $$\frac{AB}{BC} = \frac{AD}{CD}=\frac{BD}{BD}$$, то $$\frac{6}{4} = \frac{2}{24} = \frac{12}{12}$$, упростим $$\frac{3}{2} = \frac{1}{12} = 1$$. Это неверно.

Тогда теорема о пропорциональности отрезков не работает. Доказательство невозможно.

Ответ: Доказать, что $$ABCD$$ - трапеция, невозможно.