Контрольная работа по теме «Площади» Вариант 1 1. Сторона треугольника равна 6 см, а высота, проведенная к ней, в два раза больше стороны. Найдите площадь треугольника. 2. Разность оснований трапеции равна 4 см, а высота трапеции равна 8 см. Найдите основания трапеции, если ее площадь равна 72 см². 3. Найдите сторону треугольника, если высота, опущенная на эту сторону, в 2 раза меньше ее, а площадь треугольника равна 121 см². 4. Вычислите площадь трапеции ABCD с основаниями AD и BC, если AD = 24 см, ВС = 16 см, ∠A = 45°, ∠D = 90°. 5. Периметр параллелограмма равен 38 см. Найдите площадь параллелограмма, если один из углов на 60° больше прямого, а одна из сторон равна 8 см.

Здравствуйте! Давайте решим задачи по геометрии, чтобы закрепить ваши знания о площадях фигур. Уверена, у вас все получится! Задача 1: Сторона треугольника равна 6 см, а высота, проведенная к ней, в два раза больше стороны. Найдите площадь треугольника. *Решение:* 1. Находим высоту треугольника: \( h = 2 \cdot 6 = 12 \) см. 2. Площадь треугольника вычисляется по формуле: \( S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h \), где \( a \) - сторона, \( h \) - высота. 3. Подставляем значения: \( S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 12 = 36 \) см².

Ответ: 36 см²

Задача 2: Разность оснований трапеции равна 4 см, а высота трапеции равна 8 см. Найдите основания трапеции, если её площадь равна 72 см². *Решение:* 1. Пусть \( a \) и \( b \) - основания трапеции. Тогда \( a - b = 4 \). 2. Площадь трапеции вычисляется по формуле: \( S = \frac{a + b}{2} \cdot h \). 3. Подставляем известные значения: \( 72 = \frac{a + b}{2} \cdot 8 \). 4. Упрощаем уравнение: \( 72 = 4(a + b) \) \(\Rightarrow\) \( a + b = 18 \). 5. Решаем систему уравнений: \[ \begin{cases} a - b = 4 \\ a + b = 18 \end{cases} \] 6. Сложим уравнения: \( 2a = 22 \) \(\Rightarrow\) \( a = 11 \) см. 7. Находим \( b \): \( b = a - 4 = 11 - 4 = 7 \) см.

Ответ: 11 см и 7 см

Задача 3: Найдите сторону треугольника, если высота, опущенная на эту сторону, в 2 раза меньше ее, а площадь треугольника равна 121 см². *Решение:* 1. Пусть сторона треугольника равна \( a \), тогда высота \( h = \frac{a}{2} \). 2. Площадь треугольника: \( S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h \). 3. Подставляем известные значения: \( 121 = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{a}{2} \). 4. Упрощаем уравнение: \( 121 = \frac{a^2}{4} \) \(\Rightarrow\) \( a^2 = 484 \). 5. Находим \( a \): \( a = \sqrt{484} = 22 \) см.

Ответ: 22 см

Задача 4: Вычислите площадь трапеции ABCD с основаниями AD и BC, если AD = 24 см, BC = 16 см, ∠A = 45°, ∠D = 90°. *Решение:* 1. Проведем высоту BH к основанию AD. Рассмотрим треугольник ABH: ∠ABH = 90° - 45° = 45°. 2. Следовательно, треугольник ABH - равнобедренный, AH = BH = h. 3. AD = AH + HD, где HD = BC = 16 см. Тогда AH = AD - HD = 24 - 16 = 8 см. 4. Высота трапеции BH = AH = 8 см. 5. Площадь трапеции: \( S = \frac{AD + BC}{2} \cdot BH \). 6. Подставляем значения: \( S = \frac{24 + 16}{2} \cdot 8 = \frac{40}{2} \cdot 8 = 20 \cdot 8 = 160 \) см².

Ответ: 160 см²

Задача 5: Периметр параллелограмма равен 38 см. Найдите площадь параллелограмма, если один из углов на 60° больше прямого, а одна из сторон равна 8 см. *Решение:* 1. Пусть стороны параллелограмма \( a \) и \( b \). Периметр: \( 2(a + b) = 38 \), тогда \( a + b = 19 \). 2. Пусть \( a = 8 \) см, тогда \( b = 19 - 8 = 11 \) см. 3. Один из углов на 60° больше прямого, то есть 90° + 60° = 150°. Другой угол равен 180° - 150° = 30°. 4. Площадь параллелограмма: \( S = a \cdot b \cdot \sin(\alpha) \), где \( \alpha \) - угол между сторонами. 5. Подставляем значения: \( S = 8 \cdot 11 \cdot \sin(30°) = 88 \cdot \frac{1}{2} = 44 \) см².

Ответ: 44 см²

Отлично! Вы хорошо поработали над этими задачами. Продолжайте в том же духе, и у вас обязательно все получится! Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь обращаться.