Контрольная работа по теме: «Окружность» Вариант 1. 1. Центральный угол ВОС равен 40°. Найти вписанный угол, опирающийся на дугу ВС. 2. Прямая АВ касается окружности в точке В. Радиус окружности 9 см, а центр О, АО=41 см. Найти АВ. 3. В окружности хорды АВ и СД пересекаются в точке Е. АВ=0,7 см, ВЕ=0,5 см, СЕ=0,4 см. Найти ДЕ, ДС. 4. Четырехугольник АВСД вписан в окружность диаметра АС. Найдите углы четырехугольника, если дуга BC=100°, дуга СД=60°. 5. В равнобедренный треугольник с основанием 12 см и периметром 32 см вписана окружность. Найдите радиус этой окружности.

Решение:

1. Нахождение вписанного угла:

1. Центральный угол равен 40°.
2. Вписанный угол, опирающийся на ту же дугу, равен половине центрального угла.
3. Следовательно, искомый вписанный угол равен 40° / 2 = 20°.

Ответ: 20°

2. Нахождение длины касательной:

1. Радиус окружности r = 9 см.
2. Касательная АВ перпендикулярна радиусу ОВ в точке касания В.
3. Треугольник АОВ — прямоугольный с гипотенузой АО.
4. По теореме Пифагора: AB² + OB² = AO²
5. AB² + 9² = 41²
6. AB² + 81 = 1681
7. AB² = 1681 - 81 = 1600
8. AB = √1600 = 40 см.

Ответ: 40 см

3. Нахождение хорды и отрезка хорды:

1. Дано: AB = 0,7 см, BE = 0,5 см, CE = 0,4 см.
2. Известно, что AE = AB - BE = 0,7 - 0,5 = 0,2 см.
3. По свойству пересекающихся хорд: AE ⋅ EB = CE ⋅ ED
4. 0,2 ⋅ 0,5 = 0,4 ⋅ ED
5. 0,1 = 0,4 ⋅ ED
6. ED = 0,1 / 0,4 = 1/4 = 0,25 см.
7. Тогда CD = CE + ED = 0,4 + 0,25 = 0,65 см.

Ответ: DE = 0,25 см, CD = 0,65 см

4. Нахождение углов вписанного четырехугольника:

1. Диаметр АС делит окружность на две полуокружности по 180°.
2. Угол ABC вписан в полуокружность, значит, ∠ABC = 90°.
3. Угол ADC вписан в полуокружность, значит, ∠ADC = 90°.
4. Дуга BC = 100°, значит, вписанный угол BDC = 100°/2 = 50°.
5. Дуга CD = 60°, значит, вписанный угол CAD = 60°/2 = 30°.
6. В четырехугольнике ABCD:
7. ∠ABC = 90° (опирается на диаметр AC).
8. ∠ADC = 90° (опирается на диаметр AC).
9. ∠BAD = ∠BAC + ∠CAD. Дуга BC = 100°, значит, ∠BAC = 100°/2 = 50°. ∠BAD = 50° + 30° = 80°.
10. ∠BCD = ∠BCA + ∠ACD. Дуга AB = 180° - 100° = 80°, значит, ∠ACB = 80°/2 = 40°. Дуга AD = 180° - 60° = 120°, значит, ∠ACD = 120°/2 = 60°. ∠BCD = 40° + 60° = 100°.
11. Проверка: ∠BAD + ∠BCD = 80° + 100° = 180°. ∠ABC + ∠ADC = 90° + 90° = 180°.

Ответ: ∠ABC = 90°, ∠ADC = 90°, ∠BAD = 80°, ∠BCD = 100°

5. Нахождение радиуса вписанной окружности в равнобедренный треугольник:

1. Периметр треугольника P = 32 см.
2. Основание b = 12 см.
3. Сумма боковых сторон a + a = P - b = 32 - 12 = 20 см.
4. Боковая сторона a = 20 / 2 = 10 см.
5. Рассмотрим равнобедренный треугольник со сторонами 10, 10, 12.
6. Найдем высоту (h), проведенную к основанию, используя теорему Пифагора: h² + (b/2)² = a²
7. h² + (12/2)² = 10²
8. h² + 6² = 100
9. h² + 36 = 100
10. h² = 100 - 36 = 64
11. h = √64 = 8 см.
12. Площадь треугольника S = (1/2) ⋅ основание ⋅ высота = (1/2) ⋅ 12 ⋅ 8 = 48 см².
13. Радиус вписанной окружности (r) можно найти по формуле: r = S / p, где S — площадь, а p — полупериметр.
14. Полупериметр p = P / 2 = 32 / 2 = 16 см.
15. r = 48 / 16 = 3 см.

Ответ: 3 см