Контрольные задания > Контрольная работа по теме «Многогранники и тела вращения» Вариант 1 1. Ребро куба равно 4 см. Найдите площадь сечения, проходящего через диагонали двух его смежных граней. 2. Найдите площадь боковой поверхности и объём прямой призмы, основанием которой является прямоугольный треугольник с катетами 7 см и 24 см, а боковое ребро равно 5 см. 3. В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 10 см, а высота равна 5 см. Найдите площадь поверхности пирамиды. 4. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна 4√3 см. Найдите объём пирамиды, если её боковая грань составляет с плоскостью основания угол 60°. 5. Боковое ребро правильной усеченной четырехугольной пирамиды равно 6 см, сторона ее большего основания равна 9 см, высота равна 2 см. Найдите площадь сечения, проходящего через два боковых ребра пирамиды, не принадлежащих одной грани. Вариант 2 1. Ребро куба равно 5 см. Найдите площадь сечения, проходящего через диагонали двух его смежных граней. 2. Найдите площадь боковой поверхности и объём прямой призмы, основанием которой является прямоугольный треугольник с катетами 8 см и 15 см, а боковое ребро равно 6 см. 3. В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 12 см, а высота равна 6 см. Найдите площадь поверхности пирамиды. 4. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна 6√3 см. Найдите объём пирамиды, если её боковая грань составляет с плоскостью
Вопрос:

Контрольная работа по теме «Многогранники и тела вращения» Вариант 1 1. Ребро куба равно 4 см. Найдите площадь сечения, проходящего через диагонали двух его смежных граней. 2. Найдите площадь боковой поверхности и объём прямой призмы, основанием которой является прямоугольный треугольник с катетами 7 см и 24 см, а боковое ребро равно 5 см. 3. В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 10 см, а высота равна 5 см. Найдите площадь поверхности пирамиды. 4. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна 4√3 см. Найдите объём пирамиды, если её боковая грань составляет с плоскостью основания угол 60°. 5. Боковое ребро правильной усеченной четырехугольной пирамиды равно 6 см, сторона ее большего основания равна 9 см, высота равна 2 см. Найдите площадь сечения, проходящего через два боковых ребра пирамиды, не принадлежащих одной грани. Вариант 2 1. Ребро куба равно 5 см. Найдите площадь сечения, проходящего через диагонали двух его смежных граней. 2. Найдите площадь боковой поверхности и объём прямой призмы, основанием которой является прямоугольный треугольник с катетами 8 см и 15 см, а боковое ребро равно 6 см. 3. В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 12 см, а высота равна 6 см. Найдите площадь поверхности пирамиды. 4. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна 6√3 см. Найдите объём пирамиды, если её боковая грань составляет с плоскостью

Смотреть решения всех заданий с листа

Ответ:

Краткое пояснение: Необходимо решить задачи по геометрии, включая нахождение площадей сечений, объемов призм и пирамид, а также площадей поверхностей пирамид.

Вариант 1

1.

Ребро куба равно 4 см. Найдите площадь сечения, проходящего через диагонали двух его смежных граней.

Краткое пояснение: Сечение куба, проходящее через диагонали двух смежных граней, представляет собой прямоугольник.
Решение:
  • Диагональ грани куба: d = a√2, где a - ребро куба.
  • d = 4√2 см
  • Площадь сечения: S = a ⋅ d = 4 ⋅ 4√2 = 16√2 см²

Ответ: 16√2 см²

2.

Найдите площадь боковой поверхности и объём прямой призмы, основанием которой является прямоугольный треугольник с катетами 7 см и 24 см, а боковое ребро равно 5 см.

Краткое пояснение: Для нахождения площади боковой поверхности призмы нужно знать периметр основания и высоту, а для объёма - площадь основания и высоту.
Решение:
  • Гипотенуза основания: c = √(7² + 24²) = √(49 + 576) = √625 = 25 см
  • Периметр основания: P = 7 + 24 + 25 = 56 см
  • Площадь боковой поверхности: S_бок = P ⋅ h = 56 ⋅ 5 = 280 см²
  • Площадь основания: S_осн = 0.5 ⋅ a ⋅ b = 0.5 ⋅ 7 ⋅ 24 = 84 см²
  • Объём призмы: V = S_осн ⋅ h = 84 ⋅ 5 = 420 см³

Ответ: Площадь боковой поверхности 280 см², объём 420 см³

3.

В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 10 см, а высота равна 5 см. Найдите площадь поверхности пирамиды.

Краткое пояснение: Площадь поверхности пирамиды складывается из площади основания и площади боковой поверхности.
Решение:
  • Площадь основания: S_осн = (a²√3) / 4 = (10²√3) / 4 = (100√3) / 4 = 25√3 см²
  • Апофема (высота боковой грани): l = √(h² + (a/2)²) = √(5² + 5²) = √(25 + 25) = √50 = 5√2 см
  • Площадь боковой поверхности: S_бок = 0.5 ⋅ P ⋅ l = 0.5 ⋅ 3 ⋅ 10 ⋅ 5√2 = 75√2 см²
  • Площадь поверхности пирамиды: S = S_осн + S_бок = 25√3 + 75√2 см²

Ответ: 25√3 + 75√2 см²

4.

Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна 4√3 см. Найдите объём пирамиды, если её боковая грань составляет с плоскостью основания угол 60°.

Краткое пояснение: Для нахождения объёма пирамиды необходима высота, которую можно найти, зная угол между боковой гранью и основанием.
Решение:
  • Высота пирамиды: h = (a/2) ⋅ tg(60°) = (4√3 / 2) ⋅ √3 = 2√3 ⋅ √3 = 6 см
  • Площадь основания: S_осн = a² = (4√3)² = 16 ⋅ 3 = 48 см²
  • Объём пирамиды: V = (1/3) ⋅ S_осн ⋅ h = (1/3) ⋅ 48 ⋅ 6 = 16 ⋅ 6 = 96 см³

Ответ: 96 см³

5.

Боковое ребро правильной усеченной четырехугольной пирамиды равно 6 см, сторона ее большего основания равна 9 см, высота равна 2 см. Найдите площадь сечения, проходящего через два боковых ребра пирамиды, не принадлежащих одной грани.

Краткое пояснение: Сечение в усеченной пирамиде будет трапецией.
Решение:
  • Основания трапеции - стороны верхнего и нижнего основания пирамиды.
  • Меньшее основание: b = a - 2√(l² - h²) = 9 - 2√(6² - 2²) = 9 - 2√(36 - 4) = 9 - 2√32 = 9 - 8√2 см
  • Средняя линия трапеции: m = (a + b) / 2 = (9 + 9 - 8√2) / 2 = (18 - 8√2) / 2 = 9 - 4√2 см
  • Высота трапеции равна высоте пирамиды, т.е. 2 см.
  • Площадь сечения (трапеции): S = m ⋅ h = (9 - 4√2) ⋅ 2 = 18 - 8√2 см²

Ответ: 18 - 8√2 см²

Вариант 2

1.

Ребро куба равно 5 см. Найдите площадь сечения, проходящего через диагонали двух его смежных граней.

Краткое пояснение: Сечение куба, проходящее через диагонали двух смежных граней, представляет собой прямоугольник.
Решение:
  • Диагональ грани куба: d = a√2, где a - ребро куба.
  • d = 5√2 см
  • Площадь сечения: S = a ⋅ d = 5 ⋅ 5√2 = 25√2 см²

Ответ: 25√2 см²

2.

Найдите площадь боковой поверхности и объём прямой призмы, основанием которой является прямоугольный треугольник с катетами 8 см и 15 см, а боковое ребро равно 6 см.

Краткое пояснение: Для нахождения площади боковой поверхности призмы нужно знать периметр основания и высоту, а для объёма - площадь основания и высоту.
Решение:
  • Гипотенуза основания: c = √(8² + 15²) = √(64 + 225) = √289 = 17 см
  • Периметр основания: P = 8 + 15 + 17 = 40 см
  • Площадь боковой поверхности: S_бок = P ⋅ h = 40 ⋅ 6 = 240 см²
  • Площадь основания: S_осн = 0.5 ⋅ a ⋅ b = 0.5 ⋅ 8 ⋅ 15 = 60 см²
  • Объём призмы: V = S_осн ⋅ h = 60 ⋅ 6 = 360 см³

Ответ: Площадь боковой поверхности 240 см², объём 360 см³

3.

В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 12 см, а высота равна 6 см. Найдите площадь поверхности пирамиды.

Краткое пояснение: Площадь поверхности пирамиды складывается из площади основания и площади боковой поверхности.
Решение:
  • Площадь основания: S_осн = (a²√3) / 4 = (12²√3) / 4 = (144√3) / 4 = 36√3 см²
  • Апофема (высота боковой грани): l = √(h² + (a/2)²) = √(6² + 6²) = √(36 + 36) = √72 = 6√2 см
  • Площадь боковой поверхности: S_бок = 0.5 ⋅ P ⋅ l = 0.5 ⋅ 3 ⋅ 12 ⋅ 6√2 = 108√2 см²
  • Площадь поверхности пирамиды: S = S_осн + S_бок = 36√3 + 108√2 см²

Ответ: 36√3 + 108√2 см²

4.

Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна 6√3 см. Найдите объём пирамиды, если её боковая грань составляет с плоскостью основания угол 60°.

Краткое пояснение: Для нахождения объёма пирамиды необходима высота, которую можно найти, зная угол между боковой гранью и основанием.
Решение:
  • Высота пирамиды: h = (a/2) ⋅ tg(60°) = (6√3 / 2) ⋅ √3 = 3√3 ⋅ √3 = 9 см
  • Площадь основания: S_осн = a² = (6√3)² = 36 ⋅ 3 = 108 см²
  • Объём пирамиды: V = (1/3) ⋅ S_осн ⋅ h = (1/3) ⋅ 108 ⋅ 9 = 36 ⋅ 9 = 324 см³

Ответ: 324 см³

ГДЗ по фото 📸
Подать жалобу Правообладателю