Контрольная работа по теме «Многочлены» Вариант II 1. Упростите выражение a) 2(x-3y-3(x+y) б) (3a-b)(a+2b)-(2a-b)(a-b) 2. Разложите на множители a)8ab-2b²; 6) ac-bc+2a-2b 3. Решите уравнение: a) 5x+3x²=0; 6) 7(x-3)=6(x-2) 4. Докажите, что выражение 21²-14² кратно 5. 5. Постройте график функции y = x²+2x X - 1 6. Катер с собственной скоростью 30 км/ч проплыл 3ч по течению реки и бч - против течения. Весь путь катера составил 261 км. Найдите скорость течения реки.

1. Упростите выражение

a) 2(x-3y) - 3(x+y)

Давай упростим это выражение. Сначала раскроем скобки, а затем приведем подобные слагаемые:

\[2(x-3y) - 3(x+y) = 2x - 6y - 3x - 3y = (2x - 3x) + (-6y - 3y) = -x - 9y\]

Ответ: -x - 9y

б) (3a-b)(a+2b) - (2a-b)(a-b)

Теперь упростим это выражение. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

\[(3a-b)(a+2b) - (2a-b)(a-b) = (3a^2 + 6ab - ab - 2b^2) - (2a^2 - 2ab - ab + b^2) = 3a^2 + 5ab - 2b^2 - 2a^2 + 3ab - b^2 = (3a^2 - 2a^2) + (5ab + 3ab) + (-2b^2 - b^2) = a^2 + 8ab - 3b^2\]

Ответ: a² + 8ab - 3b²

2. Разложите на множители

a) 8ab - 2b²

Разложим это выражение на множители. Вынесем общий множитель за скобки:

\[8ab - 2b^2 = 2b(4a - b)\]

Ответ: 2b(4a - b)

б) ac - bc + 2a - 2b

Сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители за скобки:

\[ac - bc + 2a - 2b = c(a - b) + 2(a - b) = (a - b)(c + 2)\]

Ответ: (a - b)(c + 2)

3. Решите уравнение:

a) 5x + 3x³ = 0

Вынесем x за скобки:

\[5x + 3x^3 = 0 \Rightarrow x(5 + 3x^2) = 0\]

Значит, либо x = 0, либо 5 + 3x² = 0. Решим второе уравнение:

\[3x^2 = -5 \Rightarrow x^2 = -\frac{5}{3}\]

Так как x² не может быть отрицательным, то у этого уравнения нет решений.

Ответ: x = 0

б) 7(x - 3) = 6(x - 2)

Раскроем скобки и решим уравнение:

\[7(x - 3) = 6(x - 2) \Rightarrow 7x - 21 = 6x - 12 \Rightarrow 7x - 6x = 21 - 12 \Rightarrow x = 9\]

Ответ: x = 9

4. Докажите, что выражение 21² - 14² кратно 5.

Вычислим значение выражения и проверим, делится ли оно на 5:

\[21^2 - 14^2 = (21 - 14)(21 + 14) = 7 \cdot 35 = 7 \cdot (5 \cdot 7) = 5 \cdot 49 = 245\]

Так как 245 делится на 5 (245 / 5 = 49), то выражение 21² - 14² кратно 5.

Ответ: Выражение 21² - 14² кратно 5, так как 21² - 14² = 245, а 245 делится на 5.

5. Постройте график функции

\[y = \frac{x^2 + 2x}{x} - 1\]

Упростим функцию:

\[y = \frac{x(x + 2)}{x} - 1 = x + 2 - 1 = x + 1\]

Но при этом x ≠ 0. Таким образом, графиком функции является прямая y = x + 1 с выколотой точкой (0, 1).

Ответ: Графиком функции является прямая y = x + 1 с выколотой точкой (0, 1).

6. Катер с собственной скоростью 30 км/ч проплыл 3ч по течению реки и 6ч против течения. Весь путь катера составил 261 км. Найдите скорость течения реки.

Пусть x - скорость течения реки. Тогда скорость катера по течению равна (30 + x) км/ч, а против течения (30 - x) км/ч. Составим уравнение:

\[3(30 + x) + 6(30 - x) = 261\]

\[90 + 3x + 180 - 6x = 261\]

\[270 - 3x = 261\]

\[3x = 9\]

\[x = 3\]

Ответ: Скорость течения реки равна 3 км/ч.