Контрольная работа по теме «Многочлены» Вариант II 1. Упростите выражение a) 2(x-3)(-3(x+y) б) (3a-b)(a+2b)-(2a-b)(a-b) 2. Разложите на множители a)8ab-2b²; 6) ac-bc+2a-2b 3. Решите уравнение: a) 5x+3x³=0; 6) 7(x-3)=6(x-2) 4. Докажите, что выражение 21--14- кратно 5. 5. Постройте график функции y = x²+2x-1 X 6. Катер с собственной скоростью 30 км/ч проплыл 3ч по течению реки и бч - против течения. Весь путь катера составил 261 км. Найдите скорость течения реки.

1. Упростите выражение

a) \(2(x-3)(-3(x+y))\)

Сначала раскроем скобки:

\[ 2(x-3)(-3(x+y)) = 2(x-3)(-3x-3y) = (2x-6)(-3x-3y) \]

Теперь умножим каждое слагаемое в первой скобке на каждое слагаемое во второй скобке:

\[ (2x-6)(-3x-3y) = 2x \cdot (-3x) + 2x \cdot (-3y) - 6 \cdot (-3x) - 6 \cdot (-3y) = -6x^2 - 6xy + 18x + 18y \]

Ответ: \(-6x^2 - 6xy + 18x + 18y\)

б) \((3a-b)(a+2b)-(2a-b)(a-b)\)

Раскроем скобки в первом произведении:

\[ (3a-b)(a+2b) = 3a \cdot a + 3a \cdot 2b - b \cdot a - b \cdot 2b = 3a^2 + 6ab - ab - 2b^2 = 3a^2 + 5ab - 2b^2 \]

Раскроем скобки во втором произведении:

\[ (2a-b)(a-b) = 2a \cdot a - 2a \cdot b - b \cdot a + b \cdot b = 2a^2 - 2ab - ab + b^2 = 2a^2 - 3ab + b^2 \]

Теперь вычтем второе выражение из первого:

\[ (3a^2 + 5ab - 2b^2) - (2a^2 - 3ab + b^2) = 3a^2 + 5ab - 2b^2 - 2a^2 + 3ab - b^2 = a^2 + 8ab - 3b^2 \]

Ответ: \(a^2 + 8ab - 3b^2\)

2. Разложите на множители

a) \(8ab - 2b^2\)

Вынесем общий множитель за скобки:

\[ 8ab - 2b^2 = 2b(4a - b) \]

Ответ: \(2b(4a - b)\)

б) \(ac - bc + 2a - 2b\)

Сгруппируем члены и вынесем общий множитель:

\[ ac - bc + 2a - 2b = c(a - b) + 2(a - b) = (a - b)(c + 2) \]

Ответ: \((a - b)(c + 2)\)

3. Решите уравнение

a) \(5x + 3x^3 = 0\)

Вынесем общий множитель за скобки:

\[ 5x + 3x^3 = x(5 + 3x^2) = 0 \]

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

1) \(x = 0\)

2) \(5 + 3x^2 = 0\)

\[ 3x^2 = -5 \] \[ x^2 = -\frac{5}{3} \]

Так как квадрат числа не может быть отрицательным, то это уравнение не имеет решений.

Ответ: \(x = 0\)

б) \(7(x - 3) = 6(x - 2)\)

Раскроем скобки:

\[ 7x - 21 = 6x - 12 \]

Перенесем известные члены в одну сторону, а неизвестные в другую:

\[ 7x - 6x = 21 - 12 \] \[ x = 9 \]

Ответ: \(x = 9\)

4. Докажите, что выражение \(21n^2 - 14n\) кратно 5.

Не хватает переменной, нужно доказать, что выражение \(21n^2 - 14n\) кратно 7.

Вынесем общий множитель за скобки:

\[ 21n^2 - 14n = 7n(3n - 2) \]

Так как один из множителей равен 7, то все выражение кратно 7.

Если нужно доказать, что выражение кратно 5, то, возможно, в условии была опечатка. Если n = 5, то \(21\cdot 5^2 - 14 \cdot 5 = 21 \cdot 25 - 70 = 525 - 70 = 455\). 455 кратно 5, так как оканчивается на 5.

Пусть \(n = 5k\), тогда

\[ 21(5k)^2 - 14(5k) = 21 \cdot 25k^2 - 70k = 525k^2 - 70k = 5k(105k - 14) \]

Если \(n=5k\), то выражение кратно 5.

Ответ: Выражение кратно 7.

5. Постройте график функции \(y = \frac{x}{x^2 + 2x - 1}\)

Для построения графика функции \(y = \frac{x}{x^2 + 2x - 1}\) нужно выполнить несколько шагов:

1. Найти область определения функции.
2. Найти точки пересечения с осями координат.
3. Найти асимптоты графика функции.
4. Найти экстремумы функции.
5. Построить график функции на основе полученных данных.

Тут потребуется помощь онлайн-калькулятора или графического редактора, так как задача достаточно сложная для ручного построения.

К сожалению, я не могу нарисовать график здесь. Но ты можешь воспользоваться онлайн-сервисами, например, Desmos или GeoGebra.

6. Задача про катер

Пусть \(v\) - скорость течения реки. Тогда скорость катера по течению равна \(30 + v\), а против течения \(30 - v\).

Расстояние, пройденное по течению, равно \(3(30 + v)\), а против течения \(6(30 - v)\).

Общий путь составляет 261 км:

\[ 3(30 + v) + 6(30 - v) = 261 \]

Раскроем скобки:

\[ 90 + 3v + 180 - 6v = 261 \] \[ 270 - 3v = 261 \] \[ 3v = 270 - 261 \] \[ 3v = 9 \] \[ v = 3 \]

Ответ: Скорость течения реки равна 3 км/ч.

Ответ:

Ты отлично справился с заданиями! Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!