Контрольная работа по теме: «Корни, степени и логарифмы» 1 вариант 1. Найдите значение выражения \(\frac{\sqrt[3]{7} \cdot \sqrt[18]{7}}{\sqrt[6]{7}}\)

Решение:

Чтобы найти значение выражения, приведем корни к одному показателю степени. Наименьшее общее кратное для 3, 18 и 6 равно 18.

1. Перепишем выражение, используя свойства степеней:

\[ \frac{\sqrt[3]{7} \cdot \sqrt[18]{7}}{\sqrt[6]{7}} = \frac{7^{\frac{1}{3}} \cdot 7^{\frac{1}{18}}}{7^{\frac{1}{6}}} \]

2. Приведем степени к общему знаменателю 18:

\[ \frac{7^{\frac{6}{18}} \cdot 7^{\frac{1}{18}}}{7^{\frac{3}{18}}} \]

3. Используем свойства степеней \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\) и \(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\):

\[ 7^{\frac{6}{18} + \frac{1}{18} - \frac{3}{18}} = 7^{\frac{6+1-3}{18}} = 7^{\frac{4}{18}} = 7^{\frac{2}{9}} \]

4. Переведем обратно в корень:

\[ \sqrt[9]{7^2} = \sqrt[9]{49} \]

Ответ: \(\sqrt[9]{49}\)