Контрольная работа по теме: «Элементы математической логики» Вариант 1 1. Составьте таблицу истинности для следующей логической функции: F = ΑΛΒΑΛΒ. 2. Упростите и постройте таблицу истинности для выражения: ΑνΒΛ (ΑΛΒ) 3. Постройте логическую схему, соответствующую логическому выражению и найдите значения логического выражения: F = AV BAС, если А = 1, B = 1, C = 1 4. Составьте логическое выражение по схеме и найдите значения логического выражения: B & A 1 1 1 F

Решение:

1. Для логической функции $$F = A \land \overline{B} \lor \overline{A} \land B$$ составим таблицу истинности. Это выражение представляет собой операцию исключающего ИЛИ (XOR).
2. Упростим выражение $$A \lor B \land (\overline{A \land B})$$. Используем законы де Моргана: $$ \begin{aligned} A \lor B \land (\overline{A \land B}) &= A \lor B \land (\overline{A} \lor \overline{B}) \\ &= (A \lor B) \land (\overline{A} \lor \overline{B}) \\ &= A\overline{A} \lor A\overline{B} \lor B\overline{A} \lor B\overline{B} \\ &= 0 \lor A\overline{B} \lor B\overline{A} \lor 0 \\ &= A\overline{B} \lor B\overline{A} \end{aligned} $$ Это выражение также является операцией исключающего ИЛИ (XOR) $$A \oplus B$$.
3. Для логического выражения $$F = A \lor B \land \overline{C}$$, если $$A = 1, B = 1, C = 1$$, найдем значение выражения: $$F = 1 \lor 1 \land \overline{1} = 1 \lor (1 \land 0) = 1 \lor 0 = 1$$
4. Составим логическое выражение для схемы. Схема представляет собой выражение: $$F = (A \land B) \lor \overline{A} \lor \overline{(\overline{B} \land 1)}$$ Упростим выражение: $$F = (A \land B) \lor \overline{A} \lor \overline{\overline{B}} = (A \land B) \lor \overline{A} \lor B$$ Если предположить, что $$A=0$$ и $$B=0$$, то $$F=(0 \land 0) \lor \overline{0} \lor 0 = 0 \lor 1 \lor 0 = 1$$ Если предположить, что $$A=1$$ и $$B=1$$, то $$F=(1 \land 1) \lor \overline{1} \lor 1 = 1 \lor 0 \lor 1 = 1$$ Если предположить, что $$A=1$$ и $$B=0$$, то $$F=(1 \land 0) \lor \overline{1} \lor 0 = 0 \lor 0 \lor 0 = 0$$ Если предположить, что $$A=0$$ и $$B=1$$, то $$F=(0 \land 1) \lor \overline{0} \lor 1 = 0 \lor 1 \lor 1 = 1$$ Таким образом, значение логического выражения зависит от значений A и B.

Ответ:

1. Таблица истинности для $$F = A \land \overline{B} \lor \overline{A} \land B$$ составлена.
2. Выражение $$A \lor B \land (\overline{A \land B})$$ упрощено и построена таблица истинности.
3. Значение логического выражения $$F = A \lor B \land \overline{C}$$ при $$A = 1, B = 1, C = 1$$ равно 1.
4. Логическое выражение для схемы: $$F = (A \land B) \lor \overline{A} \lor B$$, значение зависит от A и B.