Контрольная работа по темам "Случайная изменчивость. Графы. Вероятность случайного события" Вариант 1 1. Прыжки (см): 150, 165, 148, 170, 162. Найти среднее и размах. 2. Граф А-Б, Б-В, В-Г. Сколько путей из А в Г? 3. В урне 5 кр, 3 син, 2 зел. Вероятность, что не красный? 4. Существует ли граф со степенями: 1, 2, 2, 3, 3? 5. Два кубика. Сумма очков равна 9. 6. Медиана: 25, 18, 20, 30, 22, 18, 24.

Анализ заданий:

• 1. Среднее и размах: Среднее арифметическое находится сложением всех чисел и делением на их количество. Размах — это разница между наибольшим и наименьшим значением.
• 2. Количество путей по графу: Необходимо посчитать все возможные последовательности вершин от А до Г.
• 3. Вероятность в урне: Вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов.
• 4. Существование графа по степеням: Согласно лемме о рукопожатиях, сумма степеней всех вершин графа должна быть четным числом.
• 5. Вероятность суммы очков двух кубиков: Необходимо определить все возможные комбинации выпадения очков на двух кубиках, дающие в сумме 9.
• 6. Медиана: Медиана — это значение, которое находится в середине упорядоченного набора данных.

Решение:

1. Среднее и размах:

• Данные: 150, 165, 148, 170, 162.
• Среднее: \[ \frac{150 + 165 + 148 + 170 + 162}{5} = \frac{895}{5} = 179 \]
• Размах: 170 - 148 = 22

2. Количество путей по графу:

• Пути из А в Г: А-Б-В-Г.
• Путь только один.

3. Вероятность в урне:

• Всего шаров: 5 (кр.) + 3 (син.) + 2 (зел.) = 10 шаров.
• Вероятность вынуть красный шар: \[ P(кр) = \frac{5}{10} = 0.5 \]
• Вероятность вынуть синий шар: \[ P(син) = \frac{3}{10} = 0.3 \]
• Вероятность вынуть зеленый шар: \[ P(зел) = \frac{2}{10} = 0.2 \]
• Вероятность, что шар НЕ красный (то есть синий или зеленый): \[ P(не кр) = P(син) + P(зел) = 0.3 + 0.2 = 0.5 \]
• Или, вероятность, что шар НЕ красный = 1 - P(кр) = 1 - 0.5 = 0.5.

4. Существование графа по степеням:

• Данные степени: 1, 2, 2, 3, 3.
• Сумма степеней: 1 + 2 + 2 + 3 + 3 = 11.
• Так как сумма степеней нечетная, такой граф не существует.

5. Вероятность суммы очков двух кубиков:

• Всего исходов при броске двух кубиков: 6 * 6 = 36.
• Благоприятные исходы для суммы 9: (3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3).
• Всего 4 благоприятных исхода.
• Вероятность: \[ P(сумма = 9) = \frac{4}{36} = \frac{1}{9} \]

6. Медиана:

• Данные: 25, 18, 20, 30, 22, 18, 24.
• Упорядочим данные: 18, 18, 20, 22, 24, 25, 30.
• Медиана — это среднее значение в упорядоченном ряду. Здесь 7 чисел, поэтому медиана — пятое число.
• Медиана: 22.

Ответ: 1. Среднее 179, размах 22. 2. 1 путь. 3. 0.5. 4. Не существует. 5. 1/9. 6. 22.