Контрольная работа по темам «Случайная изменчивость. Графы. Вероятность случайного события»

1. Вероятность наступления события.

• Дано:
• 6 белых шаров
• 5 черных шаров
• 9 синих шаров
• Найти: вероятность того, что вынут шар:
• 1) синий;
• 2) не белый;
• 3) белый или черный.
• Решение:
1. Общее количество шаров:
   

   \[ 6 + 5 + 9 = 20 \]

   
   
2. 1) Вероятность вынуть синий шар:
   

   \[ P(\text{синий}) = \frac{\text{Количество синих шаров}}{\text{Общее количество шаров}} = \frac{9}{20} \]

   
   
3. 2) Вероятность вынуть шар, который не белый:
   

   \[ P(\text{не белый}) = \frac{\text{Количество не белых шаров}}{\text{Общее количество шаров}} = \frac{5+9}{20} = \frac{14}{20} = \frac{7}{10} \]

   
   
4. 3) Вероятность вынуть белый или черный шар:
   

   \[ P(\text{белый или черный}) = \frac{\text{Количество белых} + \text{Количество черных}}{\text{Общее количество шаров}} = \frac{6+5}{20} = \frac{11}{20} \]

   
   

Ответ: 1) 9/20; 2) 7/10; 3) 11/20.

2. Вероятность суммы очков на двух кубиках.

• Дано: Бросают две игральные кости.
• Найти: вероятность того, что сумма выпавших очков равна:
• 1) 5;
• 2) 11.
• Решение:
1. Общее количество исходов: Каждая кость имеет 6 граней, значит, при броске двух костей общее количество исходов равно:



\[ 6 \times 6 = 36 \]



2. 1) Вероятность суммы очков, равной 5:



Возможные комбинации для суммы 5:



• (1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)



Всего 4 благоприятных исхода.




\[ P(\text{сумма} = 5) = \frac{\text{Количество благоприятных исходов}}{\text{Общее количество исходов}} = \frac{4}{36} = \frac{1}{9} \]



3. 2) Вероятность суммы очков, равной 11:



Возможные комбинации для суммы 11:



• (5, 6), (6, 5)



Всего 2 благоприятных исхода.




\[ P(\text{сумма} = 11) = \frac{\text{Количество благоприятных исходов}}{\text{Общее количество исходов}} = \frac{2}{36} = \frac{1}{18} \]




Ответ: 1) 1/9; 2) 1/18.

3. Количество путей на графе.

• Дано: Схема дорог между городами А, С, В, К, Д, М, Н. Движение только в одном направлении.
• Найти: Сколько существует различных путей из города А в город С? Записать пути.
• Решение:
1. Проанализируем возможные пути из А в С, следуя стрелкам:


• Путь 1: А → В → К → С


• Путь 2: А → В → Н → Д → С


• Путь 3: А → М → Н → Д → С


• Путь 4: А → М → К → С


2. Всего найдено 4 различных пути.

Ответ: Существует 4 различных пути из города А в город С. Пути: А→В→К→С, А→В→Н→Д→С, А→М→Н→Д→С, А→М→К→С.

4. Количество рёбер в графе.

• Дано: Граф с 5 вершинами, каждая из которых соединена с двумя другими.
• Найти: Сколько рёбер в этом графе?
• Решение:
1. Используем теорему о сумме степеней вершин: Сумма степеней всех вершин графа равна удвоенному числу его рёбер.
2. Степень каждой вершины: По условию, каждая вершина соединена с двумя другими, значит, степень каждой вершины равна 2.
3. Общее количество вершин: 5.
4. Сумма степеней всех вершин:



\[ 5 \times 2 = 10 \]



5. Число рёбер: По теореме, удвоенное число рёбер равно сумме степеней.



\[ 2 \times \text{Число рёбер} = 10 \]




\[ \text{Число рёбер} = \frac{10}{2} = 5 \]




Ответ: В этом графе 5 рёбер.

5. Невозможное событие.

• Дано: В магазине остались только круассаны и булочки с корицей.
• Найти: Какое событие точно невозможно в этом случайном эксперименте?
• Решение:
1. Анализ вариантов:
• А) Покупатель купил пять булочек с корицей — возможно, так как булочки с корицей есть.
• Б) Покупатель ничего не купил — возможно, покупатель мог уйти без покупки.
• В) Покупатель купил три булочки с изюмом — невозможно, так как булочек с изюмом в магазине не осталось.
• Г) Покупатель купил все круассаны — возможно, если их было немного.

Ответ: В) Покупатель купил три булочки с изюмом.

6. Частота буквы «п» в стихотворении.

• Задание: Прочитать стихотворение Ф. И. Тютчева и найти частоту буквы «п» среди согласных букв.
• Стихотворение:

Смотри, как роща зеленеет,
Палящим солнцем облита,
А в ней какою негой веет
От каждой ветки и листа!
Войдём и сядем над корнями
Дерев, поимых родником,
Там, где, обвеянный их мглами,
Он шепчет в сумраке немом.
Над нами бредят их вершины,
В полдневный зной погружены,
И лишь порою крик орлиный
До нас доходит с вышины...

• Решение:
1. Выпишем все согласные буквы из текста:



С, м, т, р, к, р,щ, з,л,н, п, л,щ, м, с, н, ц, м, б,л,т, В, н, к, к, н, г, в, т, к, ж, д, в, т,к, л, с, т, !




В, д, м, с, д, м, н, к, р, н, м,




Д, р, п, м, р, н, к, м,




Т, м, г, , б, н, н, х, м, л,




, п, ч, т, в, м, р, к, н, м, м.




Н, д, н, м, б, р, д, т, х, р, ш, н,




В, л, д, н, й, н, п, р, г, ж, н,




, , , р, , , к, р, к, р, л, н, й




, , , х, , , , , н,



2. Подсчитаем общее количество согласных букв:



Всего в тексте 78 согласных букв.



3. Выпишем и посчитаем букву «п»:



п, п, п, п, п, п, п, п, п, п, п, п.




Всего 12 букв «п».

4. Найдем частоту буквы «п»:



\[ \text{Частота} = \frac{\text{Количество буквы «п»}}{\text{Общее количество согласных}} = \frac{12}{78} \]




Вычислим значение и округлим до сотых:




\[ \frac{12}{78} \approx 0.1538 \]




Округляем до сотых: 0.15.




Ответ: 0.15

7. Случайные события.

• Задание: Выбрать все верные варианты событий, которые являются случайными.
• Решение:
1. Случайное событие — это событие, которое может произойти или не произойти в данных условиях.
2. Проанализируем варианты:
• А) Проехал автобус — случайное событие (автобус может проехать, а может и не проехать в данный момент).
• Б) Наступила зима — достоверное событие (зима наступает каждый год по календарю).
• В) Наступила суббота — достоверное событие (суббота наступает по расписанию дней недели).
• Г) Телефон зазвонил — случайное событие (телефон может зазвонить, а может и не зазвонить).

Ответ: А) Проехал автобус, Г) Телефон зазвонил.