Контрольная работа по темам: «Правильные многоугольники. Окружность. Движения плоскости» Вариант 2 1. Найдите угол правильного 12-угольника. 2. Найдите площадь правильного треугольника, если радиус описанной окружности 5 см. 3. Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, равен 6 см. Найдите сторону треугольника и его площадь. 4. Найдите длину окружности, если ее радиус 9 см. 5. Найдите площадь кругового сектора радиуса 1 см, ограниченного углом 40 градусов. 6. Найдите радиус и длину окружности, если площадь круга равна 25П 8. Начертите треугольник DEF. Постройте образ треугольника DEF: 1) при параллельном переносе на вектор \(\overrightarrow{DF}\) ; 2) при симметрии относительно точки D; 3) при симметрии относительно прямой EF.

Ответ: Решения ниже.

1. Найдите угол правильного 12-угольника.

Сумма углов правильного \(n\)-угольника равна \(180°(n-2)\). В правильном 12-угольнике все углы равны, поэтому каждый угол равен сумме углов, деленной на количество углов.

• Шаг 1: Найдем сумму углов 12-угольника: \[ 180° \cdot (12 - 2) = 180° \cdot 10 = 1800° \]
• Шаг 2: Найдем величину одного угла: \[ \frac{1800°}{12} = 150° \]

Ответ: 150°

2. Найдите площадь правильного треугольника, если радиус описанной окружности 5 см.

Для правильного треугольника (равностороннего) радиус описанной окружности связан со стороной треугольника формулой \(R = \frac{a}{\sqrt{3}}\), где \(a\) - сторона треугольника.

• Шаг 1: Найдем сторону треугольника: \[ 5 = \frac{a}{\sqrt{3}} \Rightarrow a = 5\sqrt{3} \text{ см} \]
• Шаг 2: Найдем площадь правильного треугольника по формуле \(S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}\): \[ S = \frac{(5\sqrt{3})^2 \cdot \sqrt{3}}{4} = \frac{25 \cdot 3 \cdot \sqrt{3}}{4} = \frac{75\sqrt{3}}{4} \text{ см}^2 \]

Ответ: \(\frac{75\sqrt{3}}{4}\) см²

3. Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, равен 6 см. Найдите сторону треугольника и его площадь.

Для правильного треугольника радиус вписанной окружности связан со стороной треугольника формулой \(r = \frac{a}{2\sqrt{3}}\), где \(a\) - сторона треугольника.

• Шаг 1: Найдем сторону треугольника: \[ 6 = \frac{a}{2\sqrt{3}} \Rightarrow a = 12\sqrt{3} \text{ см} \]
• Шаг 2: Найдем площадь правильного треугольника по формуле \(S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}\): \[ S = \frac{(12\sqrt{3})^2 \cdot \sqrt{3}}{4} = \frac{144 \cdot 3 \cdot \sqrt{3}}{4} = 108\sqrt{3} \text{ см}^2 \]

Ответ: Сторона \(12\sqrt{3}\) см, площадь \(108\sqrt{3}\) см²

4. Найдите длину окружности, если ее радиус 9 см.

Длина окружности вычисляется по формуле \(C = 2\pi R\), где \(R\) - радиус окружности.

• Шаг 1: Подставим значение радиуса: \[ C = 2 \cdot \pi \cdot 9 = 18\pi \text{ см} \]

Ответ: \(18\pi\) см

5. Найдите площадь кругового сектора радиуса 1 см, ограниченного углом 40 градусов.

Площадь кругового сектора вычисляется по формуле \(S = \frac{\theta}{360°} \cdot \pi R^2\), где \(\theta\) - угол сектора в градусах, \(R\) - радиус круга.

• Шаг 1: Подставим значения радиуса и угла: \[ S = \frac{40°}{360°} \cdot \pi \cdot 1^2 = \frac{1}{9} \pi \text{ см}^2 \]

Ответ: \(\frac{\pi}{9}\) см²

6. Найдите радиус и длину окружности, если площадь круга равна \(25\pi\).

Площадь круга вычисляется по формуле \(S = \pi R^2\), где \(R\) - радиус круга. Длина окружности \(C = 2\pi R\).

• Шаг 1: Найдем радиус круга: \[ 25\pi = \pi R^2 \Rightarrow R^2 = 25 \Rightarrow R = 5 \text{ (т.к. радиус не может быть отрицательным)} \]
• Шаг 2: Найдем длину окружности: \[ C = 2 \cdot \pi \cdot 5 = 10\pi \]

Ответ: Радиус 5, длина окружности \(10\pi\).

8. Начертите треугольник DEF. Постройте образ треугольника DEF:

1) при параллельном переносе на вектор \(\overrightarrow{DF}\);

Образ треугольника DEF при параллельном переносе на вектор \(\overrightarrow{DF}\) будет треугольник, где каждая точка смещена на вектор \(\overrightarrow{DF}\). Точка D перейдет в точку F, точка E перейдет в новую точку E', а точка F перейдет в новую точку F'.

2) при симметрии относительно точки D;

Образ треугольника DEF при симметрии относительно точки D будет треугольник, где каждая точка отражена относительно точки D. Точка D останется на месте, точка E перейдет в новую точку E'', а точка F перейдет в новую точку F''.

3) при симметрии относительно прямой EF.

Образ треугольника DEF при симметрии относительно прямой EF будет треугольник, где каждая точка отражена относительно прямой EF. Точки E и F останутся на месте, а точка D перейдет в новую точку D'''.

Ответ: Описаны построения.