Контрольная работа по геометрии 8 класса по теме: "Площадь. Нахождение площадей треугольников и многоугольных фигур. Теорема Пифагора и начала тригонометрии" ВАРИАНТ 2 1. ΔАВС – прямоугольный, АВ – гипотенуза. АВ = 17, ВС = 15. Найдите: a)cos B; б) sin B; в) tg A; г) площадь треугольника АВС. 2. Дано: coѕ а = 0,8. Найдите: а) sin a; 6) tg a. 3. ABCD – прямоугольник, CD = 6, АС= 10. Найдите площадь прямоугольника ABCD, 4. 4. ABCD – квадрат, диагональ BD = 8. Найдите площадь квадрата АВСD. 5. ABCD - параллелограмм, ∠ABC = 150°, AB = 9, AD =8. Найдите площадь параллелограмма ABCD. 6. 7. ABCD - ромб с диагоналями 10 и 24. Найдите: а) площадь ромба; б) сторону ромба. 8. 7. Найдите площадь равностороннего треугольника со стороной, равной 6. 9. ABCD - трапеция с основанием AD, ∠A = ∠D = 30°, меньшее основание = 6, высота трапеции равна 2√3. Найдите: а) АВ; б) AD; в) площадь трапеции. 10.

Ответ: Решения задач представлены ниже.

Задача 1

ΔABC – прямоугольный, AB – гипотенуза, AB = 17, BC = 15.

a) cos B = BC / AB

б) sin B = AC / AB

в) tg A = BC / AC

г) S = 1/2 * AC * BC

Найдем AC по теореме Пифагора:

AC² = AB² - BC² = 17² - 15² = 289 - 225 = 64

AC = √64 = 8

Тогда:

cos B = 15/17 ≈ 0.882

sin B = 8/17 ≈ 0.471

tg A = 15/8 = 1.875

S = 1/2 * 8 * 15 = 60

Ответ: cos B ≈ 0.882; sin B ≈ 0.471; tg A = 1.875; S = 60

Задача 2

Дано: cos α = 0.8

Основное тригонометрическое тождество: sin²α + cos²α = 1

sin²α = 1 - cos²α = 1 - 0.8² = 1 - 0.64 = 0.36

sin α = √0.36 = 0.6

tg α = sin α / cos α = 0.6 / 0.8 = 0.75

Ответ: sin α = 0.6; tg α = 0.75

Задача 3

ABCD – прямоугольник, CD = 6, AC = 10

Найдем AD по теореме Пифагора:

AD² = AC² - CD² = 10² - 6² = 100 - 36 = 64

AD = √64 = 8

Площадь прямоугольника ABCD:

S = CD * AD = 6 * 8 = 48

Ответ: S = 48

Задача 4

ABCD – квадрат, диагональ BD = 8

Диагональ квадрата связана со стороной a как BD = a√2

a = BD / √2 = 8 / √2 = 4√2

Площадь квадрата ABCD:

S = a² = (4√2)² = 16 * 2 = 32

Ответ: S = 32

Задача 5

ABCD – параллелограмм, ∠ABC = 150°, AB = 9, AD = 8

Площадь параллелограмма ABCD:

S = AB * AD * sin(∠ABC) = 9 * 8 * sin(150°) = 9 * 8 * 0.5 = 36

Ответ: S = 36

Задача 7

ABCD – ромб с диагоналями 10 и 24

a) Площадь ромба: S = 1/2 * d1 * d2 = 1/2 * 10 * 24 = 120

б) Сторона ромба: a = √( (d1/2)² + (d2/2)² ) = √( (10/2)² + (24/2)² ) = √(5² + 12²) = √(25 + 144) = √169 = 13

Ответ: S = 120; a = 13

Задача 8

Найдите площадь равностороннего треугольника со стороной, равной 6.

Площадь равностороннего треугольника: S = (a² * √3) / 4 = (6² * √3) / 4 = (36 * √3) / 4 = 9√3

Ответ: S = 9√3

Задача 9

ABCD – трапеция с основанием AD, ∠A = ∠D = 30°, меньшее основание BC = 6, высота трапеции равна 2√3

a) Найдем высоту BH, опущенную из вершины B на основание AD:

BH = 2√3

AB = BH / sin(∠A) = (2√3) / sin(30°) = (2√3) / 0.5 = 4√3

б) AH = AB * cos(∠A) = 4√3 * cos(30°) = 4√3 * (√3 / 2) = 4 * 3 / 2 = 6

AD = BC + 2 * AH = 6 + 2 * 6 = 6 + 12 = 18

в) Площадь трапеции: S = 1/2 * (BC + AD) * BH = 1/2 * (6 + 18) * 2√3 = 24√3

Ответ: AB = 4√3; AD = 18; S = 24√3

Ответ: Решения задач представлены выше.