Контрольная работа «Параллельные прямые, сумма углов треугольника» Вариант 2 1. Угол при вершине равнобедренного треугольника равен 56°. Найдите углы при основании этого треугольника. 2. Найдите градусную меру угла DCE (см. рис) 3. Один из внешних углов треугольника равен 126°. Найдите углы треугольника не смежные с ним, если один из них 22° больше другого. 4. В треугольнике ABC, AD – биссектриса, угол АСВ равен 47°, угол CAD равен 23°. Найдите величину угла АВС.

1. Угол при вершине равнобедренного треугольника равен 56°. Найдите углы при основании этого треугольника.

Решение:

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Сумма углов в треугольнике равна 180°. Пусть углы при основании равны x.

Тогда:

\[x + x + 56 = 180\] \[2x = 180 - 56\] \[2x = 124\] \[x = \frac{124}{2}\] \[x = 62\]

Ответ: Углы при основании равны 62°.

2. Найдите градусную меру угла DCE (см. рис)

Решение:

Угол \(FAC\) и угол \(MBA\) - соответственные углы при параллельных прямых \(FA\) и \(MB\) и секущей \(AM\). Следовательно, они равны.

\[\angle MBA = \angle FAC = 104^\circ\]

Смежный угол с углом \(MBA\) равен:

\[\angle ABC = 180^\circ - 76^\circ = 104^\circ\]

Сумма углов треугольника равна 180°:

\[\angle BAC = 180^\circ - (76^\circ + 40^\circ) = 180^\circ - 116^\circ = 64^\circ\]

Угол \(DCE\) является внешним углом треугольника \(AKC\), поэтому он равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним:

\[\angle DCE = \angle CAK + \angle AKC = 64^\circ + 40^\circ = 104^\circ\]

Ответ: \(\angle DCE = 104^\circ\)

3. Один из внешних углов треугольника равен 126°. Найдите углы треугольника не смежные с ним, если один из них 22° больше другого.

Решение:

Внешний угол треугольника равен сумме двух углов, не смежных с ним. Пусть один из углов равен x, тогда другой равен x + 22°.

\[x + (x + 22) = 126\] \[2x + 22 = 126\] \[2x = 126 - 22\] \[2x = 104\] \[x = \frac{104}{2}\] \[x = 52\]

Тогда другой угол равен:

\[52 + 22 = 74\]

Теперь найдем третий угол треугольника:

\[180 - (52 + 74) = 180 - 126 = 54\]

Ответ: Углы треугольника: 52°, 74°, 54°.

4. В треугольнике ABC, AD – биссектриса, угол ACB равен 47°, угол CAD равен 23°. Найдите величину угла АВС.

Решение:

Так как AD - биссектриса, то угол \(BAC = 2 \cdot CAD\):

\[\angle BAC = 2 \cdot 23^\circ = 46^\circ\]

Сумма углов в треугольнике равна 180°:

\[\angle ABC = 180^\circ - (46^\circ + 47^\circ) = 180^\circ - 93^\circ = 87^\circ\]

Ответ: \(\angle ABC = 87^\circ\)