Контрольная работа «Квадратные уравнения» Вариант 4 1. Решите уравнение 6х2 + 18х = 0. 2. Решите уравнение 4х2 – 9 = 0. 3. Решите уравнение х2 – 10x + 9 = 0. 4. Решите уравнение 3х2 + 6x + 5 = 0. 5. Произведение двух натуральных чисел, одно из которых на 7 больше другого равно 144. Найдите эти числа. 6. Периметр прямоугольника равен 20 см, а его площадь — 24 см². Найдите длины сторон прямоугольника

1. Решите уравнение $$6x^2 + 18x = 0$$.

Вынесем общий множитель за скобки:

$$6x(x + 3) = 0$$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

$$6x = 0$$ или $$x + 3 = 0$$

Решим каждое уравнение:

$$x = 0$$ или $$x = -3$$

Ответ: $$x = 0$$, $$x = -3$$

2. Решите уравнение $$4x^2 – 9 = 0$$.

Разложим левую часть уравнения как разность квадратов:

$$(2x - 3)(2x + 3) = 0$$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

$$2x - 3 = 0$$ или $$2x + 3 = 0$$

Решим каждое уравнение:

$$2x = 3$$ или $$2x = -3$$

$$x = \frac{3}{2} = 1,5$$ или $$x = -\frac{3}{2} = -1,5$$

Ответ: $$x = 1,5$$, $$x = -1,5$$

3. Решите уравнение $$x^2 – 10x + 9 = 0$$.

Найдем дискриминант квадратного уравнения:

$$D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 100 - 36 = 64$$

Дискриминант больше нуля, поэтому уравнение имеет два корня.

$$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{10 + 8}{2} = \frac{18}{2} = 9$$

$$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{10 - 8}{2} = \frac{2}{2} = 1$$

Ответ: $$x = 9$$, $$x = 1$$

4. Решите уравнение $$3x^2 + 6x + 5 = 0$$.

Найдем дискриминант квадратного уравнения:

$$D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 3 \cdot 5 = 36 - 60 = -24$$

Дискриминант меньше нуля, поэтому уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: уравнение не имеет действительных корней

5. Произведение двух натуральных чисел, одно из которых на 7 больше другого равно 144. Найдите эти числа.

Пусть меньшее число равно $$x$$, тогда большее число равно $$x + 7$$. Их произведение равно 144.

Составим уравнение:

$$x(x + 7) = 144$$

$$x^2 + 7x = 144$$

$$x^2 + 7x - 144 = 0$$

Найдем дискриминант квадратного уравнения:

$$D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-144) = 49 + 576 = 625$$

Дискриминант больше нуля, поэтому уравнение имеет два корня.

$$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 + \sqrt{625}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 + 25}{2} = \frac{18}{2} = 9$$

$$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 - \sqrt{625}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 - 25}{2} = \frac{-32}{2} = -16$$

Так как числа натуральные, то корень $$x = -16$$ не подходит.

Меньшее число равно 9, тогда большее число равно $$9 + 7 = 16$$.

Ответ: 9 и 16

6. Периметр прямоугольника равен 20 см, а его площадь — 24 см². Найдите длины сторон прямоугольника

Пусть длина прямоугольника равна $$a$$, а ширина $$b$$.

Периметр прямоугольника равен $$2(a + b) = 20$$, тогда $$a + b = 10$$.

Площадь прямоугольника равна $$ab = 24$$.

Выразим $$b$$ через $$a$$ из первого уравнения: $$b = 10 - a$$.

Подставим во второе уравнение:

$$a(10 - a) = 24$$

$$10a - a^2 = 24$$

$$a^2 - 10a + 24 = 0$$

Найдем дискриминант квадратного уравнения:

$$D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 24 = 100 - 96 = 4$$

Дискриминант больше нуля, поэтому уравнение имеет два корня.

$$a_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{10 + 2}{2} = \frac{12}{2} = 6$$

$$a_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{10 - 2}{2} = \frac{8}{2} = 4$$

Если $$a = 6$$, то $$b = 10 - 6 = 4$$.

Если $$a = 4$$, то $$b = 10 - 4 = 6$$.

Ответ: 6 см и 4 см