Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаКонтрольная работа №5 Квадратное уравнение и его корни Вариант 1 1. Решите: x2=49 2. Решите: x²-25=0 3. Решите: x²+7x=0 4. Найдите корни: x²-4x-21=0 5. Найдите корни: 3x²+5x-2=0 6. Вычислите значение дискриминанта: 2x²-3x+1=0 7. Текстовая задача: Произведение двух чисел равно 12, а их сумма равна 7. Найдите эти числа. 8. Дополнительно: Решите: 4х2-20x+25=0
Ответ:
1. Решите: \[x^2=49\]
Чтобы решить уравнение \[x^2=49\], нужно найти числа, которые при возведении в квадрат дают 49. Это числа 7 и -7.
Ответ: \[x = 7, x = -7\]
2. Решите: \[x^2-25=0\]
Это уравнение можно решить, используя формулу разности квадратов: \[a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\]
В нашем случае: \[x^2 - 25 = x^2 - 5^2 = (x - 5)(x + 5) = 0\]
Значит, либо \[x - 5 = 0\], либо \[x + 5 = 0\].
Решения: \[x = 5, x = -5\]
Ответ: \[x = 5, x = -5\]
3. Решите: \[x^2+7x=0\]
Вынесем x за скобки: \[x(x + 7) = 0\]
Значит, либо \[x = 0\], либо \[x + 7 = 0\].
Решения: \[x = 0, x = -7\]
Ответ: \[x = 0, x = -7\]
4. Найдите корни: \[x^2-4x-21=0\]
Решим квадратное уравнение через дискриминант: \[D = b^2 - 4ac\]
В нашем случае: \[a = 1, b = -4, c = -21\]
\[D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-21) = 16 + 84 = 100\]
Так как \[D > 0\], уравнение имеет два корня.
Корни находим по формуле: \[x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\]
\[x_1 = \frac{-(-4) + \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 10}{2} = \frac{14}{2} = 7\]
\[x_2 = \frac{-(-4) - \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{4 - 10}{2} = \frac{-6}{2} = -3\]
Ответ: \[x = 7, x = -3\]
5. Найдите корни: \[3x^2+5x-2=0\]
Решим квадратное уравнение через дискриминант: \[D = b^2 - 4ac\]
В нашем случае: \[a = 3, b = 5, c = -2\]
\[D = 5^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49\]
Так как \[D > 0\], уравнение имеет два корня.
Корни находим по формуле: \[x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\]
\[x_1 = \frac{-5 + \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{-5 + 7}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\]
\[x_2 = \frac{-5 - \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{-5 - 7}{6} = \frac{-12}{6} = -2\]
Ответ: \[x = \frac{1}{3}, x = -2\]
6. Вычислите значение дискриминанта: \[2x^2-3x+1=0\]
Дискриминант находится по формуле: \[D = b^2 - 4ac\]
В нашем случае: \[a = 2, b = -3, c = 1\]
\[D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1\]
Ответ: \[D = 1\]
7. Текстовая задача: Произведение двух чисел равно 12, а их сумма равна 7. Найдите эти числа.
Пусть первое число будет x, а второе y. Тогда у нас есть система уравнений:
\[\begin{cases} x \cdot y = 12 \\ x + y = 7 \end{cases}\]
Выразим y из второго уравнения: \[y = 7 - x\]
Подставим это в первое уравнение: \[x(7 - x) = 12\]
\[7x - x^2 = 12\]
\[x^2 - 7x + 12 = 0\]
Решим квадратное уравнение через дискриминант: \[D = b^2 - 4ac\]
В нашем случае: \[a = 1, b = -7, c = 12\]
\[D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 - 48 = 1\]
Так как \[D > 0\], уравнение имеет два корня.
Корни находим по формуле: \[x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\]
\[x_1 = \frac{-(-7) + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{7 + 1}{2} = \frac{8}{2} = 4\]
\[x_2 = \frac{-(-7) - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{7 - 1}{2} = \frac{6}{2} = 3\]
Если \[x = 4\], то \[y = 7 - 4 = 3\]
Если \[x = 3\], то \[y = 7 - 3 = 4\]
Ответ: Числа 3 и 4.
8. Дополнительно: Решите: \[4x^2-20x+25=0\]
Заметим, что это полный квадрат: \[(2x - 5)^2 = 0\]
Значит, \[2x - 5 = 0\]
\[2x = 5\]
\[x = \frac{5}{2} = 2.5\]
Ответ: \[x = 2.5\]
Ответ: смотри выше
