КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА К-2-1. Тема. Решение тригонометрических уравнений. Решить уравнение. Б-IV. 9 баллов. а) 2cosx + sinx = 0; б) tg(2x - pi/4) = 1; г) sin^2(x) - 5sin(x)cos(x) + 4cos^2(x) = 0; д) 1 - cos4x = sin2x.

Решение:

а) \(2\cos x + \sin x = 0\)

1. Разделим обе части уравнения на \(\cos x\) (при условии, что \(\cos x \neq 0\)): \(2 + \frac{\sin x}{\cos x} = 0\).
2. Получим \(2 + \operatorname{tg} x = 0\).
3. Выразим \(\operatorname{tg} x\): \(\operatorname{tg} x = -2\).
4. Найдём \(x\): \(x = \operatorname{arctg}(-2) + \pi n\), где \(n \in \mathbb{Z}\).

б) \(\operatorname{tg}\left(2x - \frac{\pi}{4}\right) = 1\)

1. Приравняем аргумент к арктангенсу от 1: \(2x - \frac{\pi}{4} = \operatorname{arctg}(1) + \pi n\), где \(n \in \mathbb{Z}\).
2. Известно, что \(\operatorname{arctg}(1) = \frac{\pi}{4}\).
3. Подставим: \(2x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + \pi n\).
4. Прибавим \(\frac{\pi}{4}\) к обеим частям: \(2x = \frac{\pi}{2} + \pi n\).
5. Найдём \(x\): \(x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}\), где \(n \in \mathbb{Z}\).

г) \(\sin^2 x - 5\sin x \cos x + 4\cos^2 x = 0\)

1. Так как \(\cos x \neq 0\) (если \(\cos x = 0\), то \(\sin x = \pm 1\), и уравнение не выполняется), разделим обе части на \(\cos^2 x\): \(\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} - 5\frac{\sin x \cos x}{\cos^2 x} + 4\frac{\cos^2 x}{\cos^2 x} = 0\).
2. Получим квадратное уравнение относительно \(\operatorname{tg} x\): \(\operatorname{tg}^2 x - 5\operatorname{tg} x + 4 = 0\).
3. Пусть \(t = \operatorname{tg} x\). Тогда \(t^2 - 5t + 4 = 0\).
4. Найдём дискриминант: \(D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9\).
5. Найдём корни \(t\): \(t_1 = \frac{5 + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 3}{2} = 4\) и \(t_2 = \frac{5 - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 3}{2} = 1\).
6. Теперь найдём \(x\) для каждого случая:
• \(\operatorname{tg} x = 4 \implies x = \operatorname{arctg}(4) + \pi k\), где \(k \in \mathbb{Z}\).
• \(\operatorname{tg} x = 1 \implies x = \operatorname{arctg}(1) + \pi m = \frac{\pi}{4} + \pi m\), где \(m \in \mathbb{Z}\).

д) \(1 - \cos 4x = \sin 2x\)

1. Используем формулу \(1 - \cos 2\alpha = 2\sin^2 \alpha\). Тогда \(1 - \cos 4x = 2\sin^2(2x)\).
2. Подставим в уравнение: \(2\sin^2(2x) = \sin 2x\).
3. Перенесём всё в одну часть: \(2\sin^2(2x) - \sin 2x = 0\).
4. Вынесем \(\sin 2x\) за скобки: \(\sin 2x (2\sin 2x - 1) = 0\).
5. Приравняем каждый множитель к нулю:
• \(\sin 2x = 0 \implies 2x = \pi k \implies x = \frac{\pi k}{2}\), где \(k \in \mathbb{Z}\).
• \(2\sin 2x - 1 = 0 \implies \sin 2x = \frac{1}{2} \implies 2x = \frac{\pi}{6} + 2\pi m \) или \(2x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi m \).
• Разделим на 2: \(x = \frac{\pi}{12} + \pi m \) или \(x = \frac{5\pi}{12} + \pi m \), где \(m \in \mathbb{Z}\).

Ответ: а) \(x = \operatorname{arctg}(-2) + \pi n, n \in \mathbb{Z}\); б) \(x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}\); г) \(x = \operatorname{arctg}(4) + \pi k, k \in \mathbb{Z}\) и \(x = \frac{\pi}{4} + \pi m, m \in \mathbb{Z}\); д) \(x = \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}\), \(x = \frac{\pi}{12} + \pi m, m \in \mathbb{Z}\) и \(x = \frac{5\pi}{12} + \pi m, m \in \mathbb{Z}\).