КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА К-2-1. Тема. Решение тригонометрических уравнений. Решить уравнение. Б-II. 7 баллов. а) 3sinx + cosx = 0; б) ctg(2x + pi/4) = 1; г) 4sin^2(x) + 5sin(x)cos(x) + cos^2(x) = 0; д) 1 + cos6x = cos3x.

Решение:

а) \(3\sin x + \cos x = 0\)

1. Разделим обе части уравнения на \(\cos x\) (при условии, что \(\cos x \neq 0\)): \(3\frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\cos x} = 0\).
2. Получим \(3\operatorname{tg} x + 1 = 0\).
3. Выразим \(\operatorname{tg} x\): \(\operatorname{tg} x = -\frac{1}{3}\).
4. Найдём \(x\): \(x = \operatorname{arctg}\left(-\frac{1}{3}\right) + \pi n\), где \(n \in \mathbb{Z}\).

б) \(\operatorname{ctg}\left(2x + \frac{\pi}{4}\right) = 1\)

1. Приравняем аргумент к арккотангенсу от 1: \(2x + \frac{\pi}{4} = \operatorname{arcctg}(1) + \pi n\), где \(n \in \mathbb{Z}\).
2. Известно, что \(\operatorname{arcctg}(1) = \frac{\pi}{4}\).
3. Подставим: \(2x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + \pi n\).
4. Вычтем \(\frac{\pi}{4}\) из обеих частей: \(2x = \pi n\).
5. Найдём \(x\): \(x = \frac{\pi n}{2}\), где \(n \in \mathbb{Z}\).

г) \(4\sin^2 x + 5\sin x \cos x + \cos^2 x = 0\)

1. Так как \(\cos x \neq 0\) (если \(\cos x = 0\), то \(\sin x = \pm 1\), и уравнение не выполняется), разделим обе части на \(\cos^2 x\): \(4\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} + 5\frac{\sin x \cos x}{\cos^2 x} + \frac{\cos^2 x}{\cos^2 x} = 0\).
2. Получим квадратное уравнение относительно \(\operatorname{tg} x\): \(4\operatorname{tg}^2 x + 5\operatorname{tg} x + 1 = 0\).
3. Пусть \(t = \operatorname{tg} x\). Тогда \(4t^2 + 5t + 1 = 0\).
4. Найдём дискриминант: \(D = 5^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 25 - 16 = 9\).
5. Найдём корни \(t\): \(t_1 = \frac{-5 + \sqrt{9}}{2 \cdot 4} = \frac{-5 + 3}{8} = -\frac{2}{8} = -\frac{1}{4}\) и \(t_2 = \frac{-5 - \sqrt{9}}{2 \cdot 4} = \frac{-5 - 3}{8} = -\frac{8}{8} = -1\).
6. Теперь найдём \(x\) для каждого случая:
• \(\operatorname{tg} x = -\frac{1}{4} \implies x = \operatorname{arctg}\left(-\frac{1}{4}\right) + \pi k\), где \(k \in \mathbb{Z}\).
• \(\operatorname{tg} x = -1 \implies x = \operatorname{arctg}(-1) + \pi m = -\frac{\pi}{4} + \pi m\), где \(m \in \mathbb{Z}\).

д) \(1 + \cos 6x = \cos 3x\)

1. Используем формулу двойного аргумента для \(\cos 6x = 2\cos^2(3x) - 1\).
2. Подставим в уравнение: \(1 + (2\cos^2(3x) - 1) = \cos 3x\).
3. Упростим: \(2\cos^2(3x) = \cos 3x\).
4. Перенесём всё в одну часть: \(2\cos^2(3x) - \cos 3x = 0\).
5. Вынесем \(\cos 3x\) за скобки: \(\cos 3x (2\cos 3x - 1) = 0\).
6. Приравняем каждый множитель к нулю:
• \(\cos 3x = 0 \implies 3x = \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}\), где \(k \in \mathbb{Z}\).
• \(2\cos 3x - 1 = 0 \implies \cos 3x = \frac{1}{2} \implies 3x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi m \implies x = \pm \frac{\pi}{9} + \frac{2\pi m}{3}\), где \(m \in \mathbb{Z}\).

Ответ: а) \(x = \operatorname{arctg}\left(-\frac{1}{3}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z}\); б) \(x = \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}\); г) \(x = \operatorname{arctg}\left(-\frac{1}{4}\right) + \pi k, k \in \mathbb{Z}\) и \(x = -\frac{\pi}{4} + \pi m, m \in \mathbb{Z}\); д) \(x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}\) и \(x = \pm \frac{\pi}{9} + \frac{2\pi m}{3}, m \in \mathbb{Z}\).