Контрольная работа № 7 «Тела и поверхности вращения» Вариант № 2

Решение:

1. Какое тело называется конусом?

Конус — это тело, полученное вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов.

2. Виды сечений цилиндра (изобразить 3 рисунка)

Сечения цилиндра:

• Прямое сечение: перпендикулярно оси цилиндра, получается круг.


• Косое сечение: параллельно оси цилиндра, получается эллипс.


• Осевое сечение: содержит ось цилиндра, получается прямоугольник.

3. Формула площади поверхности шара.

Площадь поверхности шара вычисляется по формуле: \( S = 4 \pi R^2 \), где \( R \) — радиус шара.

4. Напишите уравнение сферы радиуса 3 см с центром в точке В(3; -9; 12).

Уравнение сферы с центром в точке \( (x_0, y_0, z_0) \) и радиусом \( R \) имеет вид: \( (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2 \).

В данном случае \( x_0 = 3 \), \( y_0 = -9 \), \( z_0 = 12 \), \( R = 3 \).

Следовательно, уравнение сферы:

\[ (x - 3)^2 + (y - (-9))^2 + (z - 12)^2 = 3^2 \]
\[ (x - 3)^2 + (y + 9)^2 + (z - 12)^2 = 9 \]

5. Прямоугольный треугольник с катетами 12 и 5 см вращается вокруг большего катета. Вычислить площадь полной поверхности полученной фигуры.

При вращении прямоугольного треугольника вокруг большего катета (12 см) получается конус. Радиус основания конуса равен меньшему катету (5 см), а высота конуса равна большему катету (12 см). Образующая конуса равна гипотенузе треугольника.

Найдем гипотенузу (образующую \( l \)):

\[ l = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13 \] см.

Площадь полной поверхности конуса \( S_{полн} \) складывается из площади боковой поверхности \( S_{бок} \) и площади основания \( S_{осн} \).

\( S_{бок} = \pi R l \)

\[ S_{бок} = \pi \cdot 5 \cdot 13 = 65 \pi \] см².

\( S_{осн} = \pi R^2 \)

\[ S_{осн} = \pi \cdot 5^2 = 25 \pi \] см².

\( S_{полн} = S_{бок} + S_{осн} \)

\[ S_{полн} = 65 \pi + 25 \pi = 90 \pi \] см².

6. Сколько листовой жести пойдёт на изготовление трубы высотой 8 метров, диаметром 20 см.?

На изготовление трубы пойдёт площадь боковой поверхности цилиндра.

Высота трубы \( h = 8 \) м = 800 см.

Диаметр трубы \( d = 20 \) см, следовательно, радиус \( R = d/2 = 10 \) см.

Площадь боковой поверхности цилиндра \( S_{бок} = 2 \pi R h \)

\[ S_{бок} = 2 \pi \cdot 10 \cdot 800 = 16000 \pi \] см².

7. Радиус сферы равен 99 см. Точка находится на касательной плоскости на расстоянии 20 см от точки касания. Найдите расстояние от этой точки до ближайшей к ней точки сферы.

Пусть \( O \) — центр сферы, \( R = 99 \) см — её радиус.

Пусть \( A \) — точка касания сферы с плоскостью, \( B \) — точка на касательной плоскости, такая что \( AB = 20 \) см.

Расстояние от \( O \) до касательной плоскости равно радиусу \( R \), т.е. \( OA \perp \text{плоскость} \) и \( OA = 99 \) см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник \( \triangle OAB \). Гипотенуза \( OB \) — это расстояние от центра сферы до точки \( B \).

\[ OB = \sqrt{OA^2 + AB^2} = \sqrt{99^2 + 20^2} = \sqrt{9801 + 400} = \sqrt{10201} = 101 \] см.

Точка \( C \) на сфере, ближайшая к точке \( B \), лежит на отрезке \( OB \).

Расстояние от \( B \) до ближайшей точки сферы \( C \) равно \( BC = OB - OC \), где \( OC = R = 99 \) см.

\[ BC = 101 - 99 = 2 \] см.

Критерий оценок: 13-14 баллов - отлично, 11 баллов - хорошо, 8 баллов - удовлетворительно