Контрольная работа № 4 по теме: «Окружность и круг. Геометрические построения». Вариант 3. № 1. На рисунке 66 точка О – центр окружности, ∡ OAD=34°. Найдите угол FOA. № 2. К окружности с центром О проведена касательная MN (М- точка касания). Найдите отрезок MN, если ON=12 см и ∡ NOM=30°. № 3. В окружности с центром О проведены диаметр DK и хорды KA и KB так, что ∡ OAK = ∡ OBK (рис.67). Докажите, что AK=BK. № 4.

Решение:

№ 1.

В треугольнике OAD: OA = OD (радиусы окружности), следовательно, треугольник равнобедренный. Угол ODA = угол OAD = 34°.

Угол AOD — центральный угол, опирающийся на дугу AD. Угол AFD — вписанный угол, опирающийся на ту же дугу. Угол FOA — развернутый угол, равный 180°.

Угол FOD = 180° - (угол FOA + угол AOD) - это неверно.

Угол AOD = 180° - (34° + 34°) = 180° - 68° = 112°.

Угол FOA — развернутый угол. Нужно найти угол FOA. Из рисунка видно, что F, O, D лежат на одной прямой. Следовательно, угол FOD = 180°.

Угол FOA = 180° - угол AOD = 180° - 112° = 68°.

Ответ: 68°

№ 2.

Касательная MN к окружности в точке М перпендикулярна радиусу OM. Следовательно, ∡ OMN = 90°.

В прямоугольном треугольнике OMN:

• ON = 12 см (гипотенуза)
• ∡ NOM = 30°

По определению косинуса в прямоугольном треугольнике:

\[ \cos(\angle NOM) = \frac{MN}{ON} \]

\[ \cos(30°) = \frac{MN}{12} \]

Мы знаем, что \( \cos(30°) = \frac{\sqrt{3}}{2} \).

\[ \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{MN}{12} \]

Отсюда, \( MN = 12 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3} \) см.

Ответ: 6√3 см

№ 3.

Дано:

• Окружность с центром О.
• DK — диаметр.
• KA, KB — хорды.
• ∡ OAK = ∡ OBK.

Доказать: AK = BK.

Доказательство:

Рассмотрим треугольники OAK и OBK.

• OA = OB = OK (радиусы окружности).
• ∡ OAK = ∡ OBK (дано).

Треугольники OAK и OBK являются прямоугольными, так как радиус, проведенный к точке касания (хотя тут точки касания нет, но мы можем использовать свойство равнобедренного треугольника).

В треугольнике OAK: OA = OK (радиусы). Треугольник OAK — равнобедренный.

В треугольнике OBK: OB = OK (радиусы). Треугольник OBK — равнобедренный.

Если ∡ OAK = ∡ OBK, и треугольники OAK и OBK равнобедренные (с основанием AK и BK соответственно), то углы при основании равны. Но это не так.

Рассмотрим треугольники OAK и OBK. У нас есть:

• OA = OB (радиусы)
• OK — общая сторона.
• ∡ OAK = ∡ OBK (дано).

Это не дает нам равенства треугольников по стандартным признакам.

Рассмотрим свойство центрального и вписанного углов. Хорда KA и хорда KB. Дуга KA и дуга KB.

Угол OAK — это угол между радиусом OA и хордой AK.

Угол OBK — это угол между радиусом OB и хордой BK.

Из равенства углов ∡ OAK = ∡ OBK следует, что равны соответствующие дуги, на которые опираются эти углы. Но это не так. Эти углы не являются вписанными.

В равнобедренном треугольнике OAK (OA=OK), углы при основании AK равны: ∡ OAK = ∡ OKA.

В равнобедренном треугольнике OBK (OB=OK), углы при основании BK равны: ∡ OBK = ∡ OKB.

Так как нам дано, что ∡ OAK = ∡ OBK, то из этого следует, что ∡ OKA = ∡ OKB.

Теперь рассмотрим треугольники AKO и BKO:

• OA = OB (радиусы).
• OK — общая сторона.
• ∡ OKA = ∡ OKB (доказано выше).

По двум сторонам и углу между ними, треугольники OAK и OBK не равны.

По двум углам и стороне между ними, треугольники OAK и OBK не равны.

Рассмотрим равенство треугольников по двум сторонам и углу напротив одной из них (не признак).

Попробуем использовать равенство треугольников AKO и BKO по двум сторонам и углу.

У нас есть:

• OA = OB (радиусы)
• OK - общая сторона
• ∡ OAK = ∡ OBK (дано)

Это не дает нам равенства треугольников.

Рассмотрим другой подход:

В равнобедренном треугольнике OAK, ∡ OAK = ∡ OKA.

В равнобедренном треугольнике OBK, ∡ OBK = ∡ OKB.

Так как ∡ OAK = ∡ OBK, то ∡ OKA = ∡ OKB.

Теперь рассмотрим треугольники KAO и KBO:

• KA = KB (нужно доказать)
• AO = BO (радиусы)
• KO - общая сторона

Если мы докажем равенство треугольников KAO и KBO, то KA = KB.

Мы имеем:

• OA = OB (радиусы)
• OK — общая сторона
• ∡ OAK = ∡ OBK (дано)

Это соответствует случаю SSA (сторона-сторона-угол напротив одной из сторон). Этот признак не является признаком равенства треугольников.

Однако, мы можем переформулировать. Рассмотрим треугольники AKD и BKD.

DK — диаметр. Углы AKD и BKD — вписанные, опирающиеся на диаметр, значит, они прямые: ∡ AKD = ∡ BKD = 90°.

В прямоугольном треугольнике AKD:

\[ \angle KAD + \angle KDA = 90° \]

В прямоугольном треугольнике BKD:

\[ \angle KBD + \angle KDB = 90° \]

Мы знаем, что ∡ OAK = ∡ OBK. Так как O, A, D лежат на одной прямой, и O, B, K лежат на хорде, то ∡ KAD = ∡ OAK и ∡ KBD = ∡ OBK.

Значит, ∡ KAD = ∡ KBD.

Теперь рассмотрим треугольники AKD и BKD:

• ∡ AKD = ∡ BKD = 90°
• DK — общая сторона
• ∡ KAD = ∡ KBD (доказано выше)

По стороне и двум прилежащим углам (признак равенства прямоугольных треугольников — угол-угол-сторона), треугольники AKD и BKD равны.

Из равенства треугольников следует, что соответствующие стороны равны, в том числе AK = BK.

Что и требовалось доказать.

№ 4.

Нет данных для решения.